世界上最美的数学公式：欧拉等式

谈到最X的数学公式（X处一般可以随意填），人们一般都会谈到欧拉关于复数指数的一个恒等式：

因为这个公式联系了世界上五个最重要的数字：表示什么都没有的0，表示一个的1，圆周率的π，自然对数的底e和虚数单位i，这个公式如此的简洁，但是在数学中又如此的重要，凡是学习了欧拉公式的人无不惊叹于欧拉深邃的思想。

为了了解它，首先我们要从“数系”的拓展开始。

自然数

在人们的生产和生活过程中，逐渐对数字产生了需求。人们为了给牛羊等牲畜计数，产生了自然数的概念。自然数就是全体正整数，也就是一个集合{1,2,3,4…} （有些教材把0也归类为自然数）。

自然数集合对加法是封闭的。所谓封闭，就是说如果A和B都是自然数，那么A+B也是自然数。例如2+3=5，4+6=10。 但是，自然数对减法不是封闭的，也就是说，如果A和B都是自然数，A-B不一定是自然数。例如3-2=1还是自然数，但是5-8=-3就不是自然数了。

整数

也许曾经有一段时间，人们认为5-8是没有意义的。就好像“我一共有5只羊，但是却要杀8只羊招待客人，还剩下几只羊？”这种问题根本不会发生。

但实际上，只要我们去别人家借三只羊就可以满足要求，此时我们拥有的羊就变成了负债3只。也就是-3的含义。所以，人们又发明了0 和负整数。正整数，零和负整数合成了整数集合{……-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4……}

整数对加减法都是封闭的，对乘法也是封闭的，但是对除法就不封闭了。也就是说，如果A和B都是整数，A÷B就不一定是整数。例如4÷2=2是整数，但是3÷2=1.5就不是整数。

有理数

为了解决除法封闭性的问题，人们发明了分数。在4000年前，古埃及人和古希腊人就在使用分数了。公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯将整数和分数合在一起，提出了有理数的概念。

所谓有理数，就是可以写成两个整数的比的数。写作集合就是

这样一来，有理数的加、减、乘、除（分母不能为零）就都封闭了。

毕达哥拉斯等人沉醉于自己的成就，他们认为所有的数字都是有理数。但是很快，学派内部的学者希帕索斯就发现了问题：如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边无法用两个整数的比来表示。并由此引发了第一次数学危机。

这个问题在于，有理数对于开方运算是不封闭的，例如：√4=2是有理数，但是√2就不是有理数。

实数

人们经过长期的研究，终于发现不仅有可以表示成两个整数的比的有理数，还有不能表示成整数比的无限不循环小数：无理数。人们把有理数和无理数合在一起，称为实数。实数与数轴上的点一一对应。

在数轴上，我们不仅能找到整数1、2、3…，还能找到分数2/3，也能找到e、π、√2等无理数。

但是，数系并没有到此结束。因为人们发现√-1还是无法在实数范围内找到答案。也许有人会说：这个数本身就不存在啊！任何一个数的平方都一定是非负的，所以怎么会有一个数字的平方等于-1呢？

复数

数学家们并不这样认为。他们觉得这个数字就好像5-8一样，在某个时刻就会找到它的用处。的确，现在的物理学和数学中，这个数字的作用非常大。这就是虚数。

人们定义虚数单位i的含义是i=√-1，也就是说：

i每4次幂循环一次。我们按照这个规律可以计算出i的2018次幂等于-1。

实数和虚数可以合在一起，就构成了复数：形如a+bi的数字，其中a和b都是实数，而i是虚数单位。

复数可以用复平面上的一个点（或者一个有向线段）表示。

复平面是由实轴（OX轴）和虚轴（OY轴）构成的平面。实轴就是实数轴，上面的每一个点表示一个实数，例如A点就表示1。虚轴是一个少了原点的数轴，每一个点表示一个虚数，例如B点就表示i。那么平面上的C点在实轴上投影为2，在虚轴上投影为3，所以C点表示的复数就是2+3i.

复数的加减乘除规则与实数非常类似。例如：

A=1+i， B=2+3i， 则

A+B=3+4i； A-B=-1-2i，A×B=（2-3）+（2+3）i=-1+5i等。

显然，复数内的加减乘除（分母不为零）都是封闭的，而且复数的实数次幂也是复数。

不过，问题也接踵而至：一个数的复数次幂是什么？

欧拉公式

一个整数的有理数幂很简单

对于无理数幂，例如2的π次幂，我们总可以用两个有理数去逼近，也就是说我们知道

只要我们愿意，总可以把精度无限提高，这样无理数幂次的含义也被我们弄清楚了。

可是，2的i次幂到底是什么？人们仿佛毫无头绪。直到欧拉出现了。欧拉提出了著名的欧拉公式：

其中θ是一个实数，e是自然对数的底2.71828…

利用这个公式，我们就可以计算一个数的复数次幂了。例如：

其中ln2表示以e为底2的对数，它是一个实数。

有了这个公式，复数在乘方上也封闭起来了。而且，如果我们令θ=π代入公式，就会得到

这就是被誉为世界最美公式的欧拉恒等式。

欧拉公式的证明和应用

欧拉公式有许多证明方法，比如可以使用泰勒展开。

泰勒展开公式是说：一个光滑的函数可以展开成一系列函数的形式。例如e^x、cosx和sinx可以分别展开成下列形式：

我们把x=iθ代入上述公式，就可以发现欧拉公式的左右两边相等。此外还有求导、积分等方法。

使用欧拉公式可以解决非常多的问题，尤其在实变函数和物理中电学问题里，经常会把一个三角函数写作复数形式进行求解。没有欧拉，我们很难解决交流电中的许多计算，也难以实现大规模的电气化。

顺便一说，1783年，76岁的欧拉在一起和家人聚餐，在陪孙子玩的时候他突然停下，对大家说：我死了。然后就与世长辞了。欧拉用自己的生命证明了：一个真正的数学家是没有什么不能预测的。