南京大学丁南庆教授：我们为什么要学高等代数？

• 编者按：高等代数作为数学系三大基础课之一，重要性不言而喻，我们为什么要学习高等代数呢？下面跟随南京大学丁南庆教授一起来看看高等代数学习的意义及如何学好高等代数吧。

一. 高等代数在代数学中承前启后

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段。按照恩格斯的说法，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从恩格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的 “数” 和 “形” 的认识和理解已今非昔比，但恩格斯的这一说法仍然是对数学的一个中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的概括，科学地反映了数学这一学科的内涵。正是由于忽略了物质的具体形态和属性， 纯粹从 “数” 和 “形” 的角度来研究现实世界， 数学表现出高度抽象性和应用广泛性的特点， 具有特殊的公共基础地位。

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100 多个主要分支学科的庞大的 “共和国”。大体说来，数学中研究 “数” 的部分属于代数学的范畴； 研究 “形” 的部分属于几何学的范畴； 沟通 “形” 与 “数” 且涉及极限运算的部分属于分析学的范畴。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围, 由于数学通过 “数” 与 “形” 这两个概念与其它科学互相渗透, 出现了许多边缘学科和交叉学科。

“代数” （algebra） 这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成酷似满语的 “阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名数学家、翻译家李善兰才将 algebra 正式翻译为 “代数”，一直沿用至今。

1. 高等代数是初等代数的自然延伸

代数学可以说是最为人们广泛接受的 “数学”， 它的初步内容构成了人们学习数学的入门知识。我们每个人从小时候开始学数 (shǔ) 数 (shù) 起，最先接触到的算术就是代数学的一部分。由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切 “数” 的起点。在初等代数的产生和发展的过程中，代数方程的研究也促进了数的概念的进一步发展。自然数对减法不封闭，为了对减法封闭，我们将数系扩充至整数；为了对除法封闭，我们将数系扩充至有理数。有了有理数，初等代数能解决的问题就大大扩充了。但是，有些一元多项式方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。

英国数学家怀特海德 (A. N. Whitehead, 1861-1947) 说：代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具, 或者说，代数就是研究各种 “数” 及其运算的数学分支。在初等代数中, “数” 就是通常的数。在近代数学中, “数” 可以是更广泛的数学对象, 例如, 多项式、向量、矩阵、变换等。算术区别于通常代数的主要依据是: 算术仅对具体的数进行运算； 代数对更广泛的 “数” 进行运算。

初等代数进一步向两个方面发展，一方面，研究未知数更多的一次方程组（即线性方程组）；另一方面，研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了，相应地形成了 “线性代数” 与 “多项式理论” 两大板块。事实上，现在大学里开设的高等代数课程的内容一般由这两大板块组成。

2. 高等代数是后继课程的理论基础

在初等代数中，我们遇到的加法与乘法都是数与数的相加与相乘，结合律、交换律与分配律都被认为是当然的运算性质，而不会想到去证明它们！在高等代数中，我们会遇到许多不是数的数学对象 “数”，而这些 “数” 又有许多类似于数的性质，例如，它们可以相加或相乘，不过，这些新定义的加法或乘法是否满足交换律或结合律就不能断定了，需要我们一一去验证。比如，矩阵的乘法、向量的外积都不满足交换律。在《高等代数》教材编写过程中，我们特别注意引导学生从关注代数系统的元素特性逐步转向代数系统本身和不同代数系统之间的联系，强调了运算性质的重要性。例如，在第4章中，我们只运用加法的结合律和数学归纳法得到了一般向量空间中有限个向量的和；在第5章中，我们引进了同态（线性映射）与同构来比较线性空间。这样处理为学生进一步学习后继课程抽象代数（或近世代数）作了很好的铺垫。事实上，抽象代数主要研究各种公理化代数系统和不同代数系统之间的相互联系。

二. 高等代数是数学学科的重要基石

高等代数是数学系学生的专业基础课，它不仅是抽象代数、离散数学、微分方程、泛函分析、计算方法等后继课程的理论基础，也是数学学科的重要基石, 对数学来说有基础性的意义。例如，在数学分析中，用多项式函数逼近连续函数; 在组合数学中，用多项式作为计数的生成函数；多项式理论为现代数学分支代数数论与代数几何奠定了基础，事实上，代数数论侧重于研究有理系数一元多项式的零点的算术性质，代数几何则侧重于研究若干个多元多项式的公共零点集合的几何性质；而线性代数中的线性空间一方面发展成为模的概念，并产生深刻的影响，随后，泛代数、同调代数、范畴论等新领域也被建立和发展起来，另一方面，线性代数中讨论的线性空间基本上都是有限维的，随着微积分的建立以及后来泛函分析这门学科的需要，线性空间被推广至无限维，从而产生了像希尔伯特空间和巴拿赫空间等研究领域。又如，我们的教材第8章中介绍的矩阵的摩尔-彭罗斯逆在数理统计和计算数学中有重要的应用。

计算机的应用，信息科学的发展，需要连续数学的离散化，这实质上就是数学的代数化。数学的代数化可以说是20世纪数学发展的一个重要特征。代数学在深刻应用和深入到其他数学领域的同时，也在不断地从其他领域吸取新思想、新方法中得到发展。

三. 高等代数在其他学科和现代科技中有广泛应用

高等代数在物理、化学、计算机科学、工程学、图像处理、大数据等领域和现代科技中都有着广泛和不可替代的作用。

在计算机科学中，有多项式算法；在编码理论中，有多项式码， 错误消息可以直接通过多项式除以生成多项式得到非零余式而检测出来。

线性代数所体现的几何直观与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学素养是非常有用的。

线性代数中一个重要的内容是行列式和矩阵。虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但其中大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。事实证明，这两个概念已经成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。例如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比时，就用到了矩阵的相似。又如，我们的教材第8章第4节介绍的矩阵的奇异值分解在信号处理、机器学习等领域发挥了很重要的作用，第6节介绍了如何用埃尔米特矩阵及其子矩阵的特征值计算特征向量分量模长的著名定理，该定理在物理学等领域有很好的应用价值。

在计算机普及的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学与编码学、虚拟现实等技术无不以高等代数为其理论和算法基础的一部分。例如，我们的教材第1章中介绍的欧几里得算法和中国剩余定理是RSA公钥密码体制的理论基础。

高等代数与初等代数是一脉相承的，又是不同的！高等代数中有很多新概念，需要我们及时从思想上和方法上进行跟进和改变！希望大家特别注意新概念的形成过程，逐渐学会由原来对已有知识和思维方式的全面接受转向对前人成果的理解和思考。为了培养大家 “提出问题，分析问题，解决问题” 的能力，我们的教材中特别强调了三个 “自己” ——提出自己的问题，找出自己的例子，给出自己的证明。通过这个理解和思考过程，学会提问，逐渐培养问题意识、质疑精神、批判思维，构建自己的知识结构！也许你学过的知识会忘记，但是，在吸收知识的过程中积累的经验、探索的方法、培养的能力已经潜移默化地深入到你的内心，这是忘不掉的。忘记的是表面结果，积累的是内在的能力和素质。事实上，过程导向的努力往往比结果导向的努力带给你更多意想不到的效果。如果你能充分利用大学的时光，你不仅可以现在学得扎实，而且将来可以懂得更多，做得更好——这就是我理解的后劲。

我们现在非常重视创新，重视科技自立自强！数学是创新的基础，能够为 “卡脖子” 难题的解决提供重要支撑，帮助我们更加从容地平视这个世界！

如果你静静努力，变化会悄悄发生！希望大家学好高等代数！

丁南庆教授新书《高等代数》是在作者原有高等代数讲义的基础上， 充分借鉴国内外高校常用 “高等代数” 和 “线性代数” 教材的优点，顺应南京大学本科教育 “三三制” 人才培养体系的要求，为综合性大学本科生编写的一本 “高等代数” 教材。书中内容包括整数与多项式、行列式与矩阵、线性方程组、线性空间、线性映射、 λ-矩阵、二次型、内积空间、双线性函数. 相关内容的选择、处理方法、深度与广度都有别于同类代表性教材。注重激发兴趣、启发思考、培养能力， 着力体现高阶性、创新性、挑战度。

上文转自科学出版社数学教育，[遇见]已获转发授权。