宇宙速度：跑多快才能逃出地球？

2020年7月23日，海南文昌卫星发射基地里，长征五号运载火箭搭载着火星探测飞船天问一号升空，这标志着我国的火星探测计划进入到了一个全新的阶段。千百年来，中华民族奔向宇宙的幻想，终于一步步变成了现实。

奔向宇宙的第一步就是逃出地球。你知道物体的速度多快才能摆脱地心引力吗？今天我们就来介绍一下宇宙速度的知识。本文不光会介绍宇宙速度的含义，还会用简明扼要的方法介绍它的推导过程，实在是一篇不可多得的好文。

第一宇宙速度

牛顿在名著《自然哲学的数学原理》中有一个思想实验：

在一个小山包上水平发射一枚炮弹，如果炮弹的速度比较小，它就会落回到地面上。如果炮弹的速度比较大，落点就会远一些。如果速度足够大，在不考虑空气阻力的前提下，炮弹就不会落回到地面上，而是会环绕地球做一圈又一圈的圆周运动了。
牛顿大炮

这个环绕地球运动而不落地的炮弹的速度就是第一宇宙速度，也叫做环绕速度：

在地面上以第一宇宙速度水平发射的炮弹，可以成为地球的近地卫星。

为什么炮弹受到地球的引力，却不落到地面上呢？我们可以从两个角度去理解：

首先：炮弹飞出后凭借惯性匀速直线运动，同时受到了地球的吸引力而发生自由落体，两个运动的合成可以看作是平抛运动。如果速度比较小，由于自由落体运动，炮弹很快就落地了。可是当速度增大到某个值，炮弹自由落体的运动刚好与地球弯曲的情况一致，炮弹经过一小段匀速直线和一小段自由落体后，到地球表面的距离依然是不变的。

炮弹下落了，地球也弯了，它们距离还是不变的。于是，炮弹就能在贴近地面附近做匀速圆周运动了。可见：物体不落地的原因，可以看成是地球引力对物体运动的改变程度与地球表面自身的圆弧程度匹配。

第一宇宙速度的推导过程至少有两种方法。其一是常见的高中物理课本上的方法：万有引力充当向心力。

物体在地面附近，会受到指向地心的引力

同时，物体做圆周运动，需要向心力，它与物体的速度有关。

当炮弹围绕地球做匀速圆周运动时，万有引力刚好维持匀速圆周运动所需要的向心力，就能计算出第一宇宙速度的大小了：

地球对物体的万有引力充当了物体匀速圆周运动的向心力

其实，推导第一宇宙速度还有一种十分有趣的方法：假设物体以第一宇宙速度运动，在很短的时间内，经过了匀速直线运动和自由落体运动，又刚好回到出发的高度。此时利用几何上的相交弦定理也可以得到第一宇宙速度大小。这种方法如下图所示，留给中学生和物理教师阅读，这里不再赘述。

总而言之，如果水平发射一枚炮弹，速度至少达到7.9km/s，才能环绕地球运动不落回到地球表面。可是，这个速度已经达到了20多倍音速，在考虑空气阻力的情况下，大气层中几没有任何飞行器能够达到这么高的速度。无论什么型号的火箭，发射时的速度都远远小于第一宇宙速度。那么，我们为什么还能把火箭发射到地球外面呢？

这是因为：第一宇宙速度强调的是没有动力的炮弹。将炮弹打出去之后，它凭借惯性运动，如果依然不能落到地面上，就需要速度很快。但是火箭、飞机都是有动力的，火箭通过持续的向下喷气获得上升力，飞机通过机翼的压力差获得上升力。有了上升力去克服地球的引力，火箭和飞机的速度虽然很慢，却依然可以环绕地球飞行，甚至飞出地球。航天器发射时，速度并不需要达到第一宇宙速度。

第二宇宙速度

如果炮弹的速度比第一宇宙速度大一点，物体所需要的向心力就会大一点，此时物体会围绕地球做一个椭圆轨道运动。物体出发时速度越大，这个椭圆的远地点就会越大。

速度比第一宇宙速度稍大，物体做椭圆轨道运动

如果速度增大到某个值，物体就会脱离地球的引力，以抛物线轨道运动到无限远处了。

速度增大到某值，物体脱离地球

现在让我们来计算这个摆脱地球引力的速度，我们需要用能量的观点进行分析：物体在运动时具有动能（与物体的质量和速度有关），两个物体之间有万有引力，具有引力势能（与两个物体的质量和距离有关）。这两个能量合起来叫做机械能。在物体和地球相互作用的过程中，机械能的总量是保持不变的。

假设在地面上有一门大炮，以某一个速度发射炮弹，炮弹刚好可以脱离地球引力到达无穷远处。在无穷远处，物体的速度为零，所以动能为零。物体与地球距离无穷大，所以引力势能也为零，因此物体的机械能为零。根据机械能守恒：物体在发射时，机械能也应该为零。

于是，列出地面上和无穷远处机械能相等的表达式：

大家看，如果物体要脱离地球，所需要的发射速度至少要达到第一宇宙速度的根号2倍，即11.2km/s，这个速度称为第二宇宙速度。

在地面上以第二宇宙速度发射的炮弹，可以脱离地球引力，成为太阳系的行星。

第三宇宙速度

如果这枚炮弹的速度比第二宇宙速度更大，它脱离地球的引力后，还会有一定的速度残余，如果残存的速度小，物体会围绕太阳做椭圆轨道运动。如果残存的速度大，物体可能继续脱离太阳的引力，成为银河系的行星。如果这枚炮弹真的做到了这一点，它发射时的速度就叫做第三宇宙速度。

在地面上以第三宇宙速度发射的炮弹，可以脱离太阳的引力，成为银河系的行星。

现在我们来计算这个速度。首先，我们需要在太阳参考系下分析：

首先，根据第一宇宙速度的相关计算，我们知道地球自身围绕太阳运动的速度大小为：

再根据第二宇宙速度的计算可知：为了脱离太阳引力，物体需要的速度为：

于是，脱离地球之后，物体需要比地球速度快，残留速度为

好了，现在我们需要换回到地球参考系下了。

炮弹最初以相对于地面的速度v3发射出去，凭借惯性跑到远离地球的位置。此时，物体的速度减小了，但是依然有一定的残留。列出机械能守恒方程：

解这个方程，就可以得到第三宇宙速度的大小：

大功告成！

大家注意，在第三宇宙速度推导的过程中，一定要更换参考系。如果一直使用太阳参考系，就会得出一个很奇怪的数字13.5km/s。有兴趣的小伙伴可以自己尝试一下，并解释一下为什么会有错误的答案。

当然，我们还可以有第四宇宙速度：在地面上以第四宇宙速度发射的炮弹，可以脱离银河系的束缚，成为河外的行星。科学家们估计，第四宇宙速度要达到500km/s的量级，实在是太快了。

这回给大家讲解了宇宙速度的概念，宇宙速度是在忽略一切空气阻力、飞行器也完全没有动力的前提下讨论出来的理想结果。实际上的航天器既不能也没有必要达到这个速度。