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著名的哥德巴赫猜想,到底在猜什么?

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自1742年提出至今,哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)已经困扰数学界长达三个世纪之久。作为数论领域存在时间最久的未解难题之一,哥德巴赫猜想俨然成为一面旗帜,激励着无数数学家向着真理的彼岸前行。

对不少人来说,知道哥德巴赫猜想,离不开两个人,陈景润和徐迟。后者那篇著名的报告文学,让很多人知道了有位中国数学家,用了几大麻袋演算纸,将哥德巴赫猜想的证明往前推进了一步。

但陈景润究竟在这个领域取得了多大的进展呢?让我们从哥德巴赫猜想本身说起。


源起:素数引发的悬案

一个大于1的自然数,如果除了1与其自身外,无法被其他自然数整除,那么称这个自然数为素数(又称质数);大于1的自然数若不是素数,则称之为合数。

今天故事的发端,就是这类被称为"素数"的数字。早在古埃及时代,人们似乎就已经意识到了素数的存在。而古希腊的数学家们很早就已经开始对素数进行系统化的研究。例如欧几里得在《几何原本》中就已经证明了无限多个素数的存在以及算术基本定理(即正整数的唯一分解定理,指出任何大于1的自然都可以唯一地写成若干个质数的乘积)。而埃拉托斯特尼提出的筛法则为找出一定范围内所有的素数提供了可行的思路。


古希腊数学家、"几何学之父"欧几里得(左)与数学家、地理学家、天文学家埃拉托斯特尼(右)。前者在其著作《几何原本》中提出五大公设,成为欧洲数学的基础。后者设计出了经纬度系统,并计算出地球的直径。


埃拉托斯特尼筛法。筛法的原理十分简单,计算者从2开始,将每个素数的倍数筛出,记作合数。埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一。

随着对素数理解的深入,素数的诸多奇特性质被人们发掘出来。1742年6月7日,普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的信中,提到了自己有关素数的一个发现:任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。值得一提的是,当时欧洲数学界约定1也是素数。所以换成现代的数学语言,即"任一大于5的整数都可写成三个质数之和"。


将偶数表示为两个素数的和。截至2012年4月,数学家已经验证了4乘以10的18次方以内的偶数,没有发现哥德巴赫猜想的反例。

哥德巴赫无法确认这一发现的普适性,所以他寄希望于欧拉可以给出证明。欧拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的发现,并给 出了猜想的等价版本:

任一大于2的偶数,都可表示成两个素数之和。

这也是现在哥德巴赫猜想的通常表述方式,其亦称为"强哥德巴赫猜想"或"关于偶数的哥德巴赫猜想"。欧拉认为可以将这一猜想视为定理,只可惜他也无法给出猜想的证明。


哥德巴赫信件的手稿

由"强哥德巴赫猜想",可以推出:

任一大于5的奇数都可写成三个素数之和。

这也称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。当然如果"强哥德巴赫猜想"可以被证明,"弱哥德巴赫猜想"也就迎刃而解。

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