从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头

对于这样的问题，数学还不够成熟

以上是数学家保罗-埃尔德什（Paul Erdos）对我们将要讨论的问题的评价。在我讨论完这个问题后，你可能会觉得，原来这么简单的问题也可以这么复杂。我们开始吧！

猜测一个正整数x，代入下面的分段函数进行运算。

如果是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘以3再加1，这样就又成了偶数，然后再除以2了。

假设你想到的数字是21。21是一个奇数。所以，（3×21+1）=64。64是一个偶数，用它除以2，得到32。同样，32也是偶数，进一步得到16。又是一个偶数，再进一步得到16/2=8。最终得到的是1。

现在，1是一个奇数。所以用它乘以3，再加上1，得到（3×1+1）=4。由于4是偶数，我们得到4→2→1。

现在，问题“陷入”了一个4→2→1的循环。

再想一个数字，比如7。7变成22，再变成11。然后就像下面这样继续下去：

• 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

以7开头也是如此，最终进入了4→2→1的循环中。

这被称为 "科拉茨猜想"（ Collatz Conjecture）。科学家们已经检验了“无数”个数字，准确地说，检验了2^68个数字，都遵循这个猜想。

这个猜想是以洛塔尔-科拉茨（ Lothar Collatz）命名的。他在1937年提出这个猜想。它还有很多名字，如3n+1问题、3n+1猜想、乌兰猜想（以斯坦尼斯瓦夫-乌兰命名）、角谷问题（以角谷静夫命名）、斯韦茨猜想（以布莱恩-斯韦茨爵士命名）、哈斯算法（以赫尔穆特-哈斯命名）以及锡拉丘兹问题。

第一眼看这个猜想，可能会觉得它是一个“结论”，但到目前为止还没能证明，也没有找到反例。我估计任何一个人都会觉得“应该很简单”，而产生去证明的冲动！我的建议是不要去尝试，那是一个深渊，会让你深陷其中而一无所获。

• 科拉茨图

数学家们研究表明，几乎所有的科拉茨数列最终都会变成一个比开始数字更小的数字。陶哲轩用偏微分方程证明，99%的数字最终将变成一个相当接近于1的数值。陶哲轩可能现在最伟大的数学家（之一），他也只差一点就能证明这个猜想。

你可以尽可能地接近科拉茨猜想，但它仍然遥不可及——陶哲轩

用3x+1得到的数字被称为冰雹数字，为什么？因为如果你用图形绘制它，它们就像雷云中的冰雹一样上下起伏。但每个数字的图形都是相当不可预测的。

例如，26只需要10步就能达到1。达到1之前的最大数字也只是40。它是这样的：

• 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

但是如果我们以数字27为例，需要111步才能达到1。而达到1之前的最大数字是9232。这个序列是这样的。

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

同样，28、29和30只需要18步就能达到1。但是31需要106步才能达到1。数学家们能找到的唯一规律就是没有规律。

• 数字50,000的科拉茨数列中每一步的图形表示。

这是一个数字（我们取了50,000）达到1的每一步的图。如果取对数，并去除线性趋势，得到的只是一个几何学上的布朗运动。所有的波动都是随机的。

根据统计，从1开始的10亿的数字中有29.94%的数字以1开头（最高位为1），有17.47%的数字以数字2开头，有12.09%的数字以数字3开始，大概60%的数字以1，2，3数字开头。对于更大的数字，如4、5、6......百分比就会下降。这种分布被称为本福德定律（ Benford’s law）。本福德定律甚至被用来检测银行的税务欺诈和交易欺诈。

回顾上面的那张科拉茨图，如果每一个数字都遵循这个猜想，那么每一个数字都是无限扩展的树的一个分支。下面我们用这棵树做一些很酷的事情。

如果根据数列中的数字是奇数还是偶数，对路径上的每个点进行旋转，再加上一些漂亮的颜色，将得到一个类似珊瑚的结构。

• 科拉茨树以艺术方式的视觉表现。

在上图中，我以艺术的方式表示了从1到50,000的数字，得到了一个看起来很有机的结构。

你可能会认为，既然我们已经检验了2^68个数字，并且所有这些数字都遵循了这个猜想，那么它肯定是真的。但这不能被当作数学中的证明。

波利亚猜想（Polya Conjecture）由匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出，在1958年被C-布莱恩-哈塞尔格罗夫（ C. Brian Haselgrove）证明为假。反例的数值是1.854×10^361。

这让我们想到，虽然大多数数学家都在努力证明这个科拉茨猜想，但也许它不能被证明。就像波利亚猜想一样，可能有一个大得离谱的数字也不遵循科拉茨猜想。

我们可以尝试在猜想中寻找一些更多的模式。下面的图展示了前50,000个数字以及每个数字达到1所需的步骤。

• 前50,000个数字和每个数字达到1所需的步骤。

它看起来像是两股从0出发，在100-150之间的某个地方汇合的“流”。我们还可以看到一些奇怪的直线水平线。还记得28、29和30都是用18步达到1的吗？所以这三个数字在图中形成了一条直线。从图中，我们可以看到有多个这样的数字组合，它们用完全相同的步数达到1。

让我们把前50,000个数字和函数log₂(x)一起绘制出来。现在，对于任何2的幂，log₂(x)是达到1所需的步数。更简单地说，数字2^n在n步内达到1。

我们看到log₂(x)作为函数的下限的作用。

回到猜想的证明上，有两种可能性。一种是有人证明了猜想的真假。或者是猜想是一个不可判定的问题。

英国数学家约翰·康威(John Conway)在1987年对这个问题进行了概括。他假设有一台数学机器，他命名为“弗拉特朗（Fractran）”。他还假设这台机器是图灵完备的，这意味着它基本上可以做现代计算机能做的任何事情，但也有可能发生停机问题(halting problem )。

停机问题是逻辑学的焦点，也是第三次数学危机的解决方案。其本质问题是: 给定一个图灵机 T，和一个任意语言集合 S, 是否 T 会最终停机于每一个s∈S。其意义相同于可确定语言。显然任意有限 S 是可判定性的，可列的(countable) S 也是可停机的——百科

因此，科拉茨猜想有可能也是一个停机问题的对象。在这种情况下，我们可能永远无法证明科拉茨猜想是真还是假。

3x+1问题向我们展示了数学是多么不成熟。这个问题可以描述给一个五年级的学生，但仍然没有人能够证明或举出反例。我们无法解决这样一个简单易懂的问题，可能是非常令人沮丧的，但这就是数学的本质。