闵嗣鹤先生教数学的气场

　　作者意外在中大图书馆发现的、原本属于作者大哥大嫂的《数学分析简明教程》中译本上下册。

　　王则柯

　　年轻时候的闵嗣鹤先生。

　　闵嗣鹤(1913.03.08-1973.10.10)字彦群，著名数学家。出生于北京，祖籍江西奉新县。从事解析数论研究，获多项重要成果，并在应用数学方法解决石油工业及地质勘探中的若干重要理论与实际问题上贡献卓著。1952年的院系调整后执教于北京大学，是北大数学发展历程中最重要的数学家之一。在闵嗣鹤的努力下，北京大学数论方向的人才培养卓有成效，为纪念闵嗣鹤，2018年7月，北京大学闵嗣鹤数论研究中心正式成立。闵嗣鹤也是陈景润哥德巴赫猜想研究的重要指导者和论文审读者。

　　我是1959年上大学的。高考前要报志愿的时候，学校把高三大约一半同学召集起来，告诉他们说，“祖国需要你们，党信任你们”，动员他们报考国家急需的专业和机密专业：军工，航空，造船等。物理方面凡是我们中学生能够想到的，包括无线电、半导体、光学、地球物理、原子能等，都属于鼓励他们报考之列。

　　我没有被召集去接受动员，这让我知道自己被列入另册。我原来是准备报考无线电的，现在没有动员我报无线电这样的专业，我就选择报考最不机密的数学和民用建筑。当时我们功课好一些的同学，都有上北京念书的愿望。最理想的，自然是北大清华了。我就斗胆以第一志愿报考北大的数学，第二志愿则是边远一所大学的民用建筑。说实在，之前我从未想过会把数学或者民用建筑作为自己的事业。

　　一个多月以后，我收到了北京大学的录取通知书，和邻班一位要好的同学一起，到北大数学力学系读书，他在力学专业，我在数学专业。

　　数力系同学在低年级的主课，是《数学分析》，由闵嗣鹤先生主讲，数学三个班、力学两个班和计算数学一个班，共两百多人一起上大课，习题课则分班由助教负责。五十年以后，我们同学在入学半世纪聚会时回忆当初的老师，大家赞美最多的，就是闵嗣鹤先生。记忆中最深刻的画面，是先生以乒乓球弹起来的高度越来越低，给我们讲解数学分析的“无穷小”概念和“极限”概念。他还念诵出自《庄子》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，说明我们的老祖宗很早以前就深刻地描述过无穷小的思想。

　　数学那么多分支，中国的数学曾经最接近世界水平的，是数论，其代表人物首先是大名鼎鼎的华罗庚，还有包括闵先生在内的一整个梯队。50多年前陈景润的论文“1+2”能够宣传得家喻户晓，背景是他在尝试攻克以“1+1”为符号的“哥德巴赫猜想”这个难以解决的数论问题的路途上，走到了世界的最前沿。论文写好以后，需要一位足够权威的数学家审阅确认，当时已经重病在身的闵先生就是拍板的人物。前几年，张益唐博士在“孪生素数研究”方面取得世界瞩目的突破性进展，也是数论方面的工作。

　　除了认真听课，我与闵先生并没有课外的交往，但是我愿意在这里说说自己是怎样在闵先生的课堂上，头一次感受了强烈的豁然开朗，并且从此喜欢上了数学。

　　幸运考上北大，自然非常珍惜到北大跟一众大师级教授读书的机会。打听到我们低年级最重要的课是数学分析以后，我就借来了苏联莫斯科大学辛钦教授的《数学分析简明教程》的中译本，志在笨鸟先飞，以便有一个不太差的开局。可惜读不下去。想不到入学后闵先生给我们上第一课的时候，郑重介绍给大家的参考书，正是辛钦教授的这个简明教程。

　　听到闵先生推荐辛钦的那一刻，我有点曾经押对了宝的感觉，可想起当时苦读了大约一个星期，硬是什么新的东西都没有读懂，又不免“细思极恐”起来：明明凭运气找对了书，可就是读不下去！这可怎么是好？

　　幸亏不久，这“当头一棒”就被闵先生润物无声的滋养化解了，时间点是他给我们讲函数的“极限”概念的时候。原来，开课约莫个把月的时候，当闵先生按部就班一直波澜不惊地给我们讲课讲到“极限”概念的时候，形势开始明朗起来。

　　设y=f(x)是一个一元实函数，这里x和y都是实数，x是自变量，y是因变量，f表示从x到y的函数关系。数学里面，许多情形要考虑当自变量x趋于某个固定的值x0时，函数值f(x)趋向什么的问题。如果函数值f(x)趋向某个实数a，就说当自变量x趋于x0时，f(x)的极限是a。如果这点做不到，就说当自变量x趋于x0时，函数值f(x)没有极限。

　　这里，关键是如何刻画f(x)“趋向”a。趋向的数学意义，就是要多么接近就会多么接近。具体来说：任给一个表征函数值与a的距离要求的正数ε（念艾普西龙），都可以找到x与x0的某个距离要求δ（念德尔塔），使得只要x与x0的距离小于δ，函数值f (x)和a的距离都不大于ε。

　　合起来，关于函数的极限，通常就用上述所谓“ε-δ方法”来确认：如果对于任意给的正数ε，都可以找到正数δ，使得对于所有与x0的距离小于δ的自变量x，函数值f(x)与a的距离都小于ε，我们就说当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限是a。

　　极限概念描述的是一种无限逼近的过程，越到后来越接近，要怎么近，就怎么近。这个过程在x离开x0还比较远的时候，是无所谓的，关键是当x越来越接近x0的时候，f(x)要越来越接近a。具体来说，要不超过任意的ε那么远，总可以找到一个δ，使得x与x0接近到不超过δ以后函数值与a的距离都不超过ε那么远。

　　基于先前谆谆诱导的精确铺垫，当“任给ε＞0，都可以找到一个δ＞0，使得当x与x0的距离不超过δ时，f(x)与a的距离都小于ε，……”这样一串话从闵先生的口里清楚认真地慢慢讲出来的时候，我觉得，这样的语言好机敏呀，真是太漂亮啦。几乎是马上，极限的概念就比较准确牢靠地在我头脑里树立起来了。

　　想起开学以来因为无从入手，我从未做过预习，只是非常幸运地能够一直保持着信任和愉快的心情把闵先生说的每一句话都听进去，极限的概念就这样顺利地在我头脑里扎根了。这让我十分开心。不久我们更知道，不论是微分学还是积分学，都是用极限方法建立起来的。

　　对于闵先生的教学，我是虽不能至，心向往之。自感有点心得，就要身体力行，以至于接近半个世纪以后，我还会跟我的学生们说，上我的一些课我不建议预习。我追求的是当堂理解当堂消化的教学。这一切，就是出于闵先生的样板。

　　后来的学习说明，极限的概念比较快能够学好的话，后续的学习通常不会再有太大的困难。闵先生当然不是头一个教学“ε-δ”方法的老师，但是能够波澜不惊地把“ε-δ”方法讲得那么容易被接受，则完全是功力的体现。

　　形象上就是老老实实一板一眼地讲课，没有抑扬顿挫，更不会眉飞色舞，但是闵先生的课，却让我们大家受益终身。我不知道怎样来概括先生的教学是好，只觉得入学以来一个多月，随着同学们对老师的感受和传言越来越多，闵先生仿佛有一股强大的气场，让钦佩先生的我们，对先生为我们精心准备的一切，都变得容易接受。回过头来说，我虽然碰巧找到辛钦的《数学分析简明教程》，也只有当闵先生在课上把我们引进数学分析的门了，这本书才变得让我越读越有劲。

　　◎王则柯，中山大学教授、经济学家。

　　作者附记：《数学分析简明教程》的家庭故事　　

　　2021年6月的一天，我为了写作《闵嗣鹤先生的气场》，从学校图书馆借阅了莫斯科大学辛钦教授的《数学分析简明教程》中译本上下两册，意外地发现，上册的封面上有我大嫂吴水莲的签名，她本科学的也是数学。再翻阅内页，马上看到中山大学图书馆的“赠阅与交换”章和“王兆凯先生惠赠”章，以及大哥王兆凯手写的“吴水莲 五五年元月北京”，猜想这本书原来是大哥于1955年元月给大嫂买的。再看下册，封面和扉页都没有任何人的笔迹，但是有一方“吴水莲印”。上册是1954年10月头版首印的版本，下册是1955年7月头版三印的版本。这样看来，当上册在1955年元月被买下时，后来他们买到的这本下册还没有面市。于是我想象，是1955年元月大哥大嫂一起在北京的时候，他们买了上册，半年或者更长时间以后，大嫂自己买来了下册。

　　继续想象下去，那就是在半个多世纪以后，大哥大嫂清理藏书，觉得这套《数学分析简明教程》依然保存完好，就捐给了中山大学图书馆，图书馆认为值得收藏，就编入流通。图书馆很有眼光：全馆借阅电子化后不再使用的借阅单还没有撕去，让我们知道直到2013年还有借阅这两本旧书的记录。

　　大哥曾经安慰我说：“学数学好。数学学好了，看数理的和工程的著作，就像看小说一样。”后来我才痛感，读完一本小说，对我其实很不容易。