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数学是人类的发明,还是发现?

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文艺复兴三杰拉斐尔名画《雅典学院》

授权自

zhihu.com/question/19746620/answer/1652522409

(原文有删减)

首先,对这个问题感兴趣,还点进来看的人,都不是一般人。

00

一切先从定义开始

数学究竟是发现(discovered),还是发明(invented),取决于“发明”和“发现”的定义。

先看两个案例:

科学家发现了微观粒子,而不是发明了微观粒子;

殷商时代的古人发明了甲骨文,而不是发现了甲骨文。

通过这个例子,我们可以达成共识:

发现,是指人类在自然宇宙里找到了以前没见过的事物

发明,是指人类创造出了自然宇宙中以前不存在的事物

如果以这两个定义为基础,可以推出:

因为,数学的定义、符号和规则都是人类的发明,是自然宇宙中以前不存在的事物。

所以,数学是人类的发明,而不是发现。

Q.E.D.

等一下,这样就结束了?

并没有,因为事情没有这么简单。

01

有限的自然宇宙和无穷的数学宇宙


无穷符号

“无穷”是数学中最核心的概念之一,但是”无穷“只存在于人类的想象中,不存在于自然宇宙中。

在我们的印象里,自然宇宙是无穷的。

然而,随着人类观测能力增强,科学家逐渐发现,我们所生活的自然宇宙,实际上比我们想象的要“小”的多。

根据观测到的天文数据,科学家发现宇宙的时间不能无限上溯,而是存在一个叫“大爆炸”的起点,宇宙的年龄估计不超过200亿年;

宇宙的空间也非无限,宇宙的直径不超过1000亿光年;

而宇宙里所有普通物质的质量是1.45×10^53千克,尽管这些都是极其庞大的天文数字,但也是有限的。

也就是说,我们印象里那个无穷的宇宙,是我们想象出来的。

宇宙中所有已知的自然事物,包括时间、空间、物质、能量…

等等都是有限的,在自然中并不存在无穷的事物。




圆周率π



换句话说,数学世界和自然世界是截然不同的两个世界,数学是人类创造出来的全新世界。

02

无穷让数学凌驾于其他科学之上

公元前6世纪,古希腊人证明出了第一个数学定理,从此,无穷进入了数学。

第一个定理是泰勒斯证明出来的泰勒斯定理,和他同时代的毕达哥拉斯则证明了勾股定理,并建立了第一个数学学派。


《雅典学院》中的毕达哥拉斯,旁边抄作业的是德莫克里克。维基百科说图中抄作业的是阿那克西曼德,但他比毕达哥拉斯要早,我更倾向于是德谟克利特,反正拉斐尔也没明确他是谁


(当然很可能他们也证明了,只是还没有足够的证据支持)

是无穷让定律和定理之间产生了天壤之别。

定律是对已知规律的归纳总结,将来可能会出现例外情况,改写定律

而定理则通过演绎推理实现了无穷,不存在例外情况,不会被推翻。

所以,毕达哥拉斯之前的古代数学家更多的是发现,他们发现了很多定律,但是没有发明太多超越自然宇宙的数学概念。

而毕达哥拉斯之后的数学家,引入了演绎和无穷,还定义了很多超越自然的概念,导致此后的数学越来越多的是发明。

这是一个历史性的时刻,古希腊哲学家开辟了一个无穷的新世界,而数学也从此开始凌驾于其他科学之上。

高斯称,“数学是科学的皇后”。

而爱因斯坦也表示认同:

数学之所以拥有超越其他所有科学的地位,是因为数学中的法则是绝对确定和无可质疑的,而其他科学的法则则是可质疑的,并随时有被新发现的事实所推翻的危险。

大部分自然科学中的定律,放在数学中只能算作猜想。

因为这些定律都是观察、归纳而来的,还不能靠严格的证明保证其永远成立。

例如以牛顿定律所构建的经典力学,后来就被相对论和量子力学所改写。


现代物理学

数学的地位要归功于无穷,数学家赫尔曼.外尔也说:

数学被称为关于无穷的科学。的确,数学家发明了有限构造,通过该构造可以解决问题,而其本性却隐含着无穷。

外尔的第一句话,我们已经理解,第二句话也很重要,可是该如何理解呢?

让我们以《几何原本》为例:


利玛窦和徐光启所翻译的拉丁语版《几何原本》

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》,是数学史上最重要的文献之一,这本书的第一句话就暗含了无穷。

定义1. 点:点无法再分割成部分。

有没有意识到,这个定义很古怪,但是哪里古怪,又说不出来。

其实,这是欧几里得在用精巧的话术,想方设法的要绕开无穷,只是为了说明”点“只有位置,而没有大小。

如果直接说“点”没有大小,就必须引出“无穷小”这个至关重要的概念。

所谓”无穷小“是指无限的接近于零,却不等于零。

古希腊人发现”无穷小“会引发很多悖论,他们无法解决,所以只好用“分割”来定义“点”,回避“无穷小”悖论。

如果有人问,这个定义好像包含了无穷小啊?

你就可以反驳:谁说无穷小了?我说的是”不能再分割“。

不管怎么说,无穷隐含其中。



《雅典学院》中手拿圆规作图的欧几里得

定义完了“点”,紧接着,欧几里得又在“点”的定义基础之上,构造出了“线”的定义:

定义2.线:线是没有宽度的长度。 定义3.线的两端是点。 定义4.直线:直线是线上的点均匀平直的分布。

有了“线”的定义,接下来是“面”的定义,然后是各种“几何图形”的定义,…

欧几里得构造了点、线、面、形、角等23个数学元素的定义(后面的12卷又增加到了131个),以及5条公理、5条公设,并以这些有限的元素和规则证明了465个命题,构建出无限的欧几里得几何空间。


号称最美彩版《几何原本》中的插图

数学的定义里有无穷、定理里也有无穷、数学的空间也是无穷的…,总之数学世界中到处都是无穷。

回过头来,再重新品味外尔的话:

的确,数学家发明了有限构造,通过该构造可以解决问题,而其本性却隐含着无穷。

是不是容易理解多了?

03

数学来源于自然,却高于自然

人类观察鸟的飞行,发现了飞行的原理,然后发明出飞机这种全新的事物。

随着人类对飞机的不断改良,飞机的速度和范围很快就超越了所有鸟类。




数学的计算边界远远超过自然

注意,这个图只是演示数学可计算的边界远远超出了自然宇宙的范围,并不代表数学已经比自然大。

数学完全有能力来描述我们所在的这个自然宇宙,但是反过来,数学宇宙中的很多东西是无法用自然事物来描述的,比如无穷。

这是不是很神奇?

爱因斯坦也这样认为,他说:

宇宙的可理解性是宇宙永远的秘密...宇宙居然能被理解,这个事实本身,就是一个奇迹。



数学史的时间线

按照数学史的时间线:

  1. 5000多年前,人类发明出算数计算

  2. 2000多年前,古希腊人发明了几何证明

  3. 400多年前,欧洲人发明了代数和微积分

  4. 100多年前,数学家建立起了现代数学体系

直到此时,爱因斯坦才有能力用现代数学的强大工具发明出了相对论,如果没有现代数学,即使爱因斯坦也寸步难行。


这个图片是搞笑用的,但内容是认真的。

一个不会现代数学的爱因斯坦,和一个掌握现代数学的爱因斯坦,只有后者才可以发明相对论。

智商决定不了人的上限,是人所能掌握的数学水平,限制了人能掌握的科学和技术水平,而这些才决定了人的上限。

事实上,数学家每发明创造出一个新的数学概念,都会让数学的边界扩展出一个更庞大的无穷空间。

如果只依靠发现的话,数学家的能力就会受到极大的限制。

2000多年前,毕达哥拉斯学派的希帕索斯,基于勾股定理发明出了根号2,这种不能用自然数的比例来表示的非比例数,也就是无理数。

学派认为他发明出的新数,不是自然宇宙中存在的数,是亵渎神灵的行为,于是淹死了希帕索斯。

如果数学家停止脚步,只使用自然数,而不使用发明出来的新数,那就极大约束他们的能力,就不会有后来高度繁荣的数学世界了。

经过2000多年创造,数学家打破了自然的限制,发明出了越来越多自然宇宙中并不存在的新数。




从0维空间到4维空间




二向箔把太阳系碾压成低维空间

图片出处:《三体艺术插画集》

而如果能让数学家把数学工具带到自然宇宙的话,他们完全可以碾压歌者,彻底摧毁歌者文明。

如果想限制住数学家的力量,就让他们只能用在自然中才存在的事物。

这样人类的科学探索能力,就会被永远锁死在2000多年前的古代,这比智子锁死基础物理还要狠毒!(三体迷都知道的梗^_^)

幸好,数学家已经摆脱了自然的限制,就像《西游记》里的孙悟空一样,“跳出三界外,不在五行中”,这是前所未有的自由。“

人定胜天”这个梦想,至少在数学上已经完全实现了!

现在你已经明白了,数学的强大力量恰恰来自于发明,而没有停留在发现上。

数学是人类文明对自然的伟大超越!

04

仔细观察拉斐尔的《雅典学院》,就会发现画中暗藏着一个金字塔形的层次结构。

整个《雅典学院》以柏拉图和亚里士多德为中心。


同时他们也是身边人物的视线焦点。

如果以亚里士多德伸出的右手作为顶点,可以做出一个等腰三角形,从台阶之上向下延伸到地板,底边的两个角右边指向毕达哥拉斯,左边指向欧几里得。


注意观察,就会发现这两个数学家也是周围人物的视线焦点。

右边是由达芬奇Cosplay的柏拉图,他的右手竖着中指(啊不,是食指)指向天空,左手夹着《蒂迈欧篇》,象征着「形式」可以构造出理想的世界。

左边是亚里斯多德(可能是米开朗基罗Cosplay),右手拍向大地,左手扶着《伦理学》,象征着「经验」需要通过脚踏实地的观察才能发现。

他们两个人,正好代表了人类获得知识的两种途径:

一种来自演绎、发明,另一种则来自归纳、发现。

拉斐尔用这样的构图来表达,在自然哲学的层级结构中,数学是整个自然哲学的基础。

两者不是非此即彼的关系,而是兼而有之的关系。

发现和发明是数学的不同阶段:

  1. 数学家观察自然,在数量和图形中发现了数学规律

  2. 数学家根据发现,设计出新的数学元素,并通过演绎引入了无穷

  3. 无穷将自然定律变成了数学定理,数学逐渐开始超越自然

  4. 数学家发明出大量新的数学元素和规则,开拓出一个又一个的数学无穷宇宙

  5. 人类借助数学宇宙中超越自然的力量,实现了科学、技术的大繁荣

  6. 数学起源于自然,独立于自然,超越了自然,最终演化为一个全新的世界

所以,发明和发现在过程上是统一的,并非对立。

PS:

01

如果有外星高级智慧,他们想用一种工具来描述那些规律的时候,会发明另一种类似数学的东西,而不是人类数学么?

提到外星人,我倒是确实想象过外星人的数学可能是什么样。

我们的数学,是从自然数出发,从离散到连续,从静止到变化(从数到函数到微积分),这可能跟我们的生理构造有关。

我们生活在空气中,可以很清晰地分辨出物体的轮廓,可以很自然地数数,所以离散、相比、连续,对我们来说更自然。

但有没有可能发生相反的情况呢?

有没有可能有某种生活在半透明的液体中的智慧生物,他们靠低频段电磁波或者声波来感知周围的物体。

对他们来说,连续变化的量比离散的整数更符合直觉?

而这又导致他们的数学发展史与我们截然不同,以至于微积分、拓扑比数论更基本?

他们可能对数的大小、函数的变化速率非常敏感,但是却需要经过训练才能理解什么是整数、什么叫奇数偶数、什么叫整除。

当然这都是我的胡思乱想,我只是觉得人类认知数学的方式,跟人类本身的感知方式是有关系的。

之前听xx老师的报告,说为什么代数里面定义乘法,只有左乘、右乘,没有上乘、下乘呢?

初听起来这个问题很蠢,但仔细思考之后里面有不平凡的想法。

我们传统的代数结构是一维的,所以只有左右两个方向;

但是现代的Hopf代数、量子群等等更复杂的代数结构,他们的定义在数学公理的层面上是非常繁冗的。

但是,从高维量子场论的角度去看,他们其实是一维代数结构的自然推广。

——老师原话

具体我也不太理解。

至于为什么传统代数结构是一维的呢?

因为我们传统的书写、阅读方式就是一维的啊;

我们是一行一行写,写完一行换一行。

我们集成信息的方式就是把信息当成一个巨大的字符串啊。

这么一想,我们先天固有的感知方式,可能对我们发展数学概念确实有难以察觉的深刻影响。

(@Yuhang Liu)

02

为什么中国人数学这么牛,却几乎没有中国人发现的数学定理?

简答。

一个历史残片。

Theorem: (Chu-Vandermonde sum)

这里Chu指的是中国数学家:朱世杰

朱世杰(1249年-1314年),字汉卿,号松庭,汉族,燕山(今北京)人氏,元代数学家、教育家,毕生从事数学教育。

(百度百科复制的)

其实朱世杰在1303年就得到了这个公式。

但。

很长一段时间以来,这个杰出又如此有用的的公式是被归在Vandermonde名下的。

后来特殊函数论领域的权威R. Askey通过查阅文献得知了朱世杰的工作,才重新(建议)称之为Chu-Vandermonde求和(公式)的。

这一故事的来源是R. Askey的著名著作《Orthogonal Polynomials and Special Functions》第59-60页。




维基百科的相关词条:Vandermonde's identity也强调了这个事实。

这块历史残块虽然十分细小,但也许可以带给我们很多的思考。

(@罗旻杰)

参考资料

1.https://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe

2.Weyl, H. Axiomatic versus constructive procedures in mathematics.The Mathematical Intelligencer 7,10–17 (1985). https://doi.org/10.1007/BF03024481

3.AlbertEinstein(1923)."GeometryandExperience".Sidelights on relativity. Courier Dover Publications. p. 27.Reprinted by Dover (2010),ISBN978-0-486-24511-9.

4.AndrewRobinson.Did Einstein really say that? Nature 557, 30 (2018). https://doi.org/10.1038/d41586-018-05004-4

5.【费物理学2-5】费曼趣谈数学家与物理学家的区别_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili6.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F_(%E5%93%B2%E5%AD%B8)

7.https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Byrne_(mathematician)

8.https://habr.com/ru/post/451682/

9.我如何用TeX“复活”两千多年前的《几何原本》?- 云+社区 - 腾讯云

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