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伦敦瘟疫时期的牛顿

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作者:汪晓勤

来源:科学出版社数学教育

求学剑桥


剑河上的牛顿桥

1661年,牛顿如愿以偿,成为剑桥大学三一学院的学生。牛顿如饥似渴,古希腊哲学家柏拉图、亚里士多德以及同时代哲学家和科学家笛卡儿、伽桑狄、霍布斯、波义耳、伽利略、开普勒等的著作如甘泉般滋润着他的心灵,为他提供丰富的思想养料,并促进他的独立思考。1664年,他在自己撰写的题为《哲学的若干问题》的小册子中写道:“柏拉图是我的朋友,亚里士多德亦是我的朋友,但我最好的朋友是真理!”

刚进剑桥的时候,牛顿的数学知识少得可怜。大二时,他在剑桥大学附近的集市里买到一本有关占星术的书,但书中的数学内容使他如坠五里云雾。为此,他想从一本三角学著作开始学习数学,但由于缺少几何知识,他还是裹足不前。或许是在他的恩师、刚刚担任三一学院卢卡斯数学教授的巴罗先生的建议下,他开始阅读《几何原本》。从此,他逐渐走进数学世界。前辈数学家的著作为他学习和研究数学创造了良好的条件。1631年,他的校友、国王学院毕业生奥特雷德出版《数学之钥》;1646年,荷兰数学家舒腾编辑出版《韦达数学全集》;1649年,舒腾又出版笛卡儿《几何学》的拉丁文版(1659年再版);1655年,牛津大学萨维利几何学教授沃利斯出版《无穷算术》。


自然哲学之数学原理(1687)

牛顿不断从这些数学著作中获取灵感,有理数指数情形的二项式定理就是其中的典型一例。沃利斯在《无穷算术》中获得了一系列曲线


下的面积,它们分别为


我们今天有了二项式定理和定积分知识,很容易得到上述结果。但是,牛顿上大学以前,对正整数情形的二项式定理一无所知,虽然帕斯卡早在1654年就写好了《论算术三角形》,但该书的出版却是在帕斯卡去世之后的1665年。但观察沃利斯的结果,牛顿马上就发现了面积表达式中的规律(按照升幂的顺序):

· 各项系数的符号交错出现;

· 各项系数的分母为奇数1,3,5,7,…;

· 第二项系数的分子为等差数列1,2,3,4,…;

· 各项系数的分子依次对应于为11的乘方的各位数,即对应于以下数表中每一行:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

· 若第二项系数的分子为n,则以后各项系数的分子分别为


牛顿马上将上述规律类比到以下曲线下的面积:


分别得到


牛顿又把上述规律类比到更多的曲线,如


在得到上述规律之后,牛顿马上得出原函数的无穷级数表达式:


一般地,牛顿得到


这样,牛顿在数学史上首次将二项式定理推广到一般有理数指数的情形。如果说帕斯卡为正整数指数幂情形下的二项式定理划上了句号,那么,牛顿则完全超越了他的前辈,书写了二项式定理的崭新篇章。牛顿二项式定理在数学上是如此重要、如此著名,以致在牛顿去世之后,有好事者猜测该定理会被刻在他的墓碑上(事实上并没有)。

伦敦瘟疫


丽塔 · 格雷尔油画“大瘟疫1665”(2009)

1665年4月,牛顿获得了学士学位。正当牛顿踌躇满志、继续向剑桥大学三一学院研究员的目标迈进之际,一百公里以外的伦敦爆发瘟疫的坏消息不断传来。瘟疫从伦敦城的外围迅速蔓延到了市中心,每周的死亡人数不断攀升。丹尼尔·笛福说得好:“瘟疫像一场大火,如果起火的地方只有几座房屋受牵连,那就只会烧毁几座房屋;如果是在单幢房,或者按我们的叫法是在孤房里烧起来,那就只会烧毁那座起火的孤房;但如果是在一座建筑密集的市镇或城市里烧起来,到了紧急关头,火势越来越猛,那它就会在这整个地方蔓延开来,然后将所到之处吞噬殆尽!”到夏天,疫情肆虐达到了顶峰,不仅使整座伦敦城笼罩在死亡的阴影中,而且对伦敦周围地区构成了巨大的威胁。关闭学校、返乡隔离的通知下达到了剑桥大学的每一个学院。

回到故乡


乌尔索普村牛顿家的房子(采自E. F. 金《牛顿传略》)

牛顿收拾行囊,回到了故乡——林肯郡的乌尔索普村(今属格兰瑟姆市)。牛顿家的房子是他祖父于1632年购得,给生于斯长于斯的牛顿留下了许许多多童年和少年时代的回忆。母亲在第二次婚姻中给他增添了同母异父的一个弟弟和两个妹妹。十四岁时,继父(一位牧师)亡故,母亲带着三个孩子回到乌尔索普。彼时,牛顿在离家八英里的格兰瑟姆文法学校读书,但母亲却希望牛顿能够好好务农,承担持家重任,并不可思议地让他中途辍学!对农事了无兴趣的他,身上哪有一星半点的农夫基因?每到周末,母亲就让一位老仆人陪伴他去格兰瑟姆的市场上出售一些农作物,并购买一些生活必需品。但他压根儿就不适合做买卖。有时牛顿偷偷溜回学校宿舍,有时会蹲在篱笆边,忘我地看书。他还在一场暴风雨中,做了一次测量风力的实验。在叔父(曾经的剑桥高材生)的关心之下,他才回到格兰瑟姆的课堂,并以就读剑桥大学为目标。

避疫期间


昆丁 · 布雷克插画作品:苹果树下的牛顿(2009)

我们可以想象,避疫期间的牛顿,活动范围不会很大,和家人的交流也不会很多,基本上就在自己家里读书、静思、写作。大疫关闭了大学校园,却关闭不了牛顿的精神世界!

在避疫的两年时间里,牛顿在数学、光学和力学领域取得了重要突破。在微积分方面,牛顿于1665年构想了“流数术”。我们今天所说的函数,被牛顿称为“流量”(注意,不是我们今天所说的手机“流量”哦);函数的导数,被牛顿称为“流数”。“流数”的概念似乎源于物理学中的速度概念——“流量”流动的速度就是“流数”。牛顿通过在表示“流量”的字母上方加一点来表示该流量的“流数”,可以表示为:


显然,牛顿所求的“流数”就是我们今天所说的“导数”。牛顿将上述比成为“初生量的初始比”或“消失量的终极比”。由于牛顿没有严格的极限概念,所以上述求流数的方法并不严谨,以致日后受到贝克莱大主教的激烈批判。另外,由于返校后没有及时发表他的“流数术”,导致日后他与莱布尼茨之间无休止的微积分发明权之争。

构想了“流数术”之后,牛顿将它应用于求曲线的切线和曲率。我们相信,在乌尔索普老家,牛顿关于微积分的思考远远不止“流数术”,因为他同时也在思考:如何根据“流数”来求“流量”。在“流数术”的应用过程中,牛顿很可能还悟出,前辈数学家眼中风马牛不相及、需要采用不同技巧才能加以解决的求切线问题、求最大值和最小值问题,都可以统一采用同一种分析方法;求切线问题和求面积问题所需要的不过是互逆的两种运算而已。近两个世纪之后,在遥远的东方,中国数学家李善兰在学习微积分之后,不禁发出如下赞叹:

由是,一切曲线、曲线所函面、曲面、曲面所函体,昔之所谓无法者,今皆有法;一切八线求弧背、弧背求八线、真数求对数、对数求真数,昔之视为至难者,今皆至易。呜呼!算术至此观止矣,蔑以加矣!

微积分是数学史上最重要的发明,它使数学这门古老的学科插上了腾飞的翅膀,使其以前所未有的速度向前发展;同时,它为人类认识世界、解决不同知识领域中的难题提供了一把万能钥匙。微积分能够帮助我们更深刻地理解什么是“积微成著”,什么是“水滴石穿”,什么是“失之毫厘,谬以千里”,什么是“一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴”,什么是“一沙一世界,一花一天堂,双手握无限,刹那是永恒”。

如果把人的成就比作“流量”,那么他经过每一瞬间“ο”之后,这“流量”的增量与这个“ο”的比值,正刻画了人生的“流数”,即一个人进步的速度。

牛顿在乌尔索普的第二项重要发现是太阳光的分解。从亚里士多德时代开始人们就一直相信,太阳光是纯粹的单色光。1666年,牛顿从附近集市上买来三棱镜,并进行光学实验——后来成了科学史上最著名的实验之一。通过暗室中的三棱镜实验,他惊奇地发现,太阳光被分解成了红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七种不同颜色!我们完全可以想象,牛顿的书房不知不觉成了他实施科学探究的实验室。


德国邮票上的牛顿与三棱镜实验

牛顿的第三项发现因苹果落地的故事而广为人知:在乌尔索普的一棵苹果树下,一只苹果从树上掉下来,激发了牛顿关于万有引力的灵感。当然,也有人怀疑故事的真实性,包括19世纪著名数学家德摩根;但更多的人都相信故事是真实发生过的:在那宁静的乡间,习惯于在苹果树下思考问题的牛顿,突然听到一只苹果落在地上发出声响,因而思索苹果落地的原因,最终彻悟宇宙的普遍规律。如果换一个人,换一个时间,一个生活在5G时代、对自然界的秘密毫无好奇心的庸人在苹果树下用苹果手机刷着微信,突然听到苹果的落地声,于是浮想联翩、灵光闪现……那不用说是无聊的杜撰。但是,苹果树下坐着的是1666年避疫在家的牛顿,你很难让人相信这仅仅是人们的臆想。实际上,牛顿的侄女凯瑟琳·巴顿曾经向参加过牛顿葬礼的法国思想家伏尔泰讲起过这则故事,1741-1752年间担任英国皇家学会会长的马丁·福克斯也和他人说起过这则故事。

后来,牛顿用数学的方法证明了万有引力定律以及力学三大定律,并将其写进《自然哲学的数学原理》(1687)中。欧洲的知识阶层普遍认为:上帝创造了世界,而牛顿发现了上帝创造世界的方法!万有引力定律以及其他力学定律的发现,深刻地改变了人类的世界观,人类不再像英国哲学家休谟所说的那样,“被悬挂在永恒的疑惧之中”,“既没有足够的智慧预见未来,也没有能力防止那些使我们不断受伤害的不幸事件发生”,而是坚信:自然界是有规律的,而规律是可以认识的,并且是用数学来刻画的!

1727年,英国诗人蒲柏为牛顿撰写了墓志铭:

自然和自然的规律在黑夜里隐藏,

上帝说,‘让牛顿来吧’,

于是一切都变得光亮。

回顾牛顿避疫期间的科学发现,我们不禁要问:在整个人类历史上,还有谁能拥有如此不平凡的两年时光?

疫情过后


牛顿塑像(采自E. F. 金《牛顿传略》)

1666年,伦敦大疫伴随着一场前所未有的大火画上了句号。剑桥大学于1667复课,牛顿和其他学生一样,从家乡返回。四年的积累,两年的沉淀,如今的牛顿业已成为世界一流的数学家和物理学家。就在剑桥大学复课当年的10月份,他被选为低级研究员(minor fellow),翌年7月,他又被选为高级研究员(major fellow)。巴罗教授敏锐地发现了牛顿的才能,于1669年将这位学生的论文寄给伦敦的柯林斯(柯林斯和世界各地的数学家有着广泛的通信联系),希望他通过通信,让世界上更多的数学家了解牛顿。同年,巴罗毅然辞去卢卡斯教授职位,并力荐牛顿作为他的继任者。27岁的牛顿顺利成为卢卡斯数学教授。

从此,一颗璀璨的科学新星,不仅点亮了工业革命的前程,更是照亮了人类文明的天空。

结语


牛顿墓(威斯敏斯特教堂)

1665年的那场大疫,让无数人生活在恐惧、谵妄和迷信之中。作为一名剑桥学子,牛顿可能并没有为抗疫做出过什么直接的贡献,但他通过自己的科学著作,给予人类前所未有的理性,正是这种理性,一方面,让人类在遇到灾难的时候,能够沉着冷静、充满信心地去寻找科学的治疫良方;另一方面,他很好地利用了避疫的两年时光,心无旁骛地做自己喜欢的研究工作,一举超越了他在剑桥的所有同学,为未来的发展打下坚实的基础。

三个半世纪之后的今天,人间又逢瘟疫。绝大多数居家避疫的人或悼念逝者,或为病者祈福,或给予疫区微薄捐助,或充当键盘侠发正义之声,或不停转发各类信息(其中谣言甚多),除此之外,对于疫情本身大抵是无所作为的。无聊乎?厌倦乎?茫茫然无所适从乎?饱食终日无所事事乎?想想乌尔索普村那棵苹果树下的牛顿。

一个人在自己专业领域的耕耘、坚守与创获,正是大疫期间让自己有功于国家、有益于世界的正途。

作者简介:汪晓勤,华东师范大学教师教育学院教授,博士生导师,HPM工作室主持人。主要从事数学史与数学教育研究。)

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