永远改变逻辑学的两条定律，逻辑学中的一个重大转变

人类对逻辑的理解有着悠久而丰富的历史。在过去，逻辑被视为与所有其他形式的研究密不可分，从亚里士多德到孔子的伟大思想家，在他们的论证中都非常依赖基本的逻辑推理。在欧洲，亚里士多德提出的逻辑论证在大多数情况下，直到16世纪都没有受到挑战。

是莱布尼茨首先开始继续亚里士多德的工作。在1680年代，他研究了自己的符号逻辑形式，他称之为 "理性的微积分"。然而，他的研究直到1900年仍未发表，因此影响不大。其他许多人也试图超越亚里士多德所做的工作，但却没有取得什么成功。

• 德-摩根（左）和乔治-布尔（右）。

直到19世纪，乔治-布尔（你可能通过布尔变量认识他）和奥古斯特-德-摩根的出现（以及其他许多人）。这两个人精心设计的代数逻辑系统，在数学和哲学界获得了巨大的吸引力。

使用这种新的逻辑系统，就有可能正式表述以前的学者们所提出的许多理论。这正是德-摩根在正式确定德-摩根定律时所做的。这两条法则早就已经被亚里士多德等人所认可，但德-摩根能够使它们变得严谨而具体。

在这篇文章中，我将从集合论的角度来介绍德-摩根的法则，它们在形式逻辑中也有相同的对应物。首先，让我们定义几个基本符号。

我们可以把一个集合A定义为一个对象的集合。A的实际内容在这里并不重要，只是它是一个集合，每个对象要么在A中，要么不在。这些对象也是U的一部分，即全集，它包含一切。请注意下面的图1，U中有些对象不包含在A中，但A中的每个对象都在U中。

• 图1：U中的集合A（灰色阴影）。

那么，不在A中的所有对象呢？为了表示这一点，我们用A'来表示。这被称为A的补集。我在下面的图2中展示了这一点。

• 图2：集合A'（有一撇，如果没有显示）（灰色阴影）。

只需要再定义两个符号。如果有两个集合A和B，那么我们可以用两种运算将它们联系起来：和（∩）和或（∪）。

表达式A∩B描述了只存在于两个集合（A和B）中的对象，而A∪B则描述了A中的所有对象以及B中的所有对象（A或B）。这可能让人困惑，看看图3就明白了

• 图3：A∪B（左）和A∩B（右）。

很好，现在我们可以陈述摩根定律了。它们是非常简单的

这些都可以用集合论的语言来正式证明，但我不会在这里证明。相反，我向你提出挑战，请你画一个与我所介绍的类似的图，并推理这两个等式都是成立的。

这些定律是简单推理的形式化表示，是逻辑学中一个重大转变的代表，即走向符号（形式）。布尔和德摩根都是这一转变的关键人物，他们帮助定义了逻辑领域今天的面貌。如果你想了解这些定律在逻辑上的含义。