量子世界=数学，如何理解“数学是我们所拥有的一切”？

这篇文章提出了两个相互矛盾的观点。一方面，他认为没有数学（或者更准确地说，没有数学形式主义），就不会有量子理论，或者至少不会有量子力学。然而，另一方面，这篇文章也反对毕达哥拉斯主义（认为世界即数学）。

下面的主要反毕达哥拉斯主义的论点是，世界并不是由数学或由数字组成的。简单地说，至少在量子力学中，如果没有数学，我们就没有（几乎）什么。

毕达哥拉斯主义：事物就是数学

毕达哥拉斯学派认为，世界真的是数学的。或者，也许更准确地说，他们相信世界即数学。我做出这种非此即彼的区分，是因为如果一个物理学家认为 "世界是数学的"，那么这可能只意味着世界可以被准确地用数学描述。而毕达哥拉斯派则指出，事物就是数字。因此，他们把数学和世界划上等号。

说了以上这些，在涉及量子力学时，这篇文章确实肯定了毕达哥拉斯式的立场（观点）。这是因为有时很难说毕达哥拉斯式的立场究竟是什么。首先，世界是数学的或它是由数字组成的这一说法是很难理解的。

因此，现在必须要问的问题是：

什么是 "事物 "成为 "数字 "的原因？

重复一下：毕达哥拉斯派的立场并不仅仅是论证数学可以描述（或模拟）事物，而是论证事物实际上就是数字。但这实际上意味着什么呢？因此，现在我们可以问，"万物皆数 "这句话是要从诗意上还是字面意义上理解。从字面上看，它几乎没有意义。从诗意的角度看，它仍然需要很多解释。

对毕达哥拉斯主义的一种解释是，如果事物都是数字，那么当涉及到描述现实时，毫不奇怪弦理论是在事物之上的。因为：

i) 如果事物是数字。

ii) 而数字也被用来描述事物（它们是数字）。

iii) 那么数字就是在描述数字。

这将意味着我们永远无法摆脱数字。也许这正是毕达哥拉斯派所希望的结果！

稍微改变一下思路。

物理学家约翰-阿奇博尔德-惠勒（1911-2008）在物理学上对毕达哥拉斯主义作了最好的反驳。惠勒曾经在黑板上写下许多神秘的方程式，然后对他的学生说。

现在我拍拍手，一个宇宙就会涌现出来。

然而，根据毕达哥拉斯派的说法，方程就是宇宙。史蒂芬-霍金（1942-2018）用一句更著名的话反驳了惠勒。他写道：

即使只有一个可能的统一理论，它也只是一套规则和方程。是什么给方程注入了火种，使其成为一个可供描述的宇宙？

美国科学作家Kitty Ferguson（1941-）对霍金的问题提供了一个（可能的）毕达哥拉斯式的答案。她提出了这样一种可能性："可能是方程就是火"。另外，霍金本人是否 "暗示这些法则有其自身的生命或创造性力量？

那么，究竟是什么 将火注入方程以创造一个世界的？

约翰-D-巴罗

数学是一种极其有用的工具。然而，英国宇宙学家、理论物理学家和数学家约翰-D-巴罗（1952-2020）却比这个不言而喻的道理更进一步。巴罗实际上将他的-毕达哥拉斯式的立场以如下方式提出：

通过将实际情况转化为数字，我们已经找到了宇宙结构和运作的秘密。

当然，几乎每个人都能接受宇宙及其各部分被赋予数字，或被数字描述，被数字解释，或被转化为数字。问题是，这实际上不是毕达哥拉斯式的立场。

因此，难怪那么多人相信，通过数学，我们已经找到了宇宙结构和运作的秘密。然而，即使这样，也必须有一个非毕达哥拉斯式的（如它是）余数。我的意思是，数学找到了已经单独存在的事物的秘密，即世界的 "结构和运作"。

然后，巴罗以如下方式继续说下去，就变得越来越清晰了。

这种观点的特殊之处在于，它认为数字是事物的内在属性；也就是说，数字在事物之中，不能以任何方式与事物分离或区分。

此外：

并不是说物体仅仅拥有可以用数学公式描述的某些属性。一切事物，从宇宙的整体，到它的每一个部分，都是数字，贯穿始终。

如前所述，我们很难把握 "事物本身就是数字 "这句话到底是什么意思。我们真的能论证现实及其部分是数学吗？我们真的能说现实及其部分是由数字或方程式组成的吗？我们甚至可以说，现实在某种程度上是数学、数字或方程的具体化？

马克斯-泰格马克

物理学家和宇宙学家马克斯-泰格马克（Max Tegmark，1967年）也用以下非常具体的例子来说明毕达哥拉斯主义的当代情况。

[如果]这里的物理空间中的电场强度对应于数学结构中的这个数字，那么我们的外部物理现实符合作为数学结构的定义——事实上，就是那个数学结构。

马克斯-泰格马克并不是简单地论证数学对于描述特定 "物理空间 "中的 "电场强度 "是完美的。他认为，电场强度是一种 "数学结构"。也就是说，我们用来描述电场的数学与电场是同一回事。因此，如果真的是这样的话，那么所谓的 "数学奇迹 "就很难让人感到惊讶了。这是因为，我们实质上有一种情况，即数学在描述数学。如果数学是在描述数学，那么 "描述 "这个词首先肯定不是一个正确的词。

泰格马克给了我们更多关于他观点的细节：

在时空的每一点上都有一堆数字是相当深刻的，我认为它告诉我们的不仅仅是关于我们对现实的描述，而是关于现实本身。

可以说，泰格马克在上述内容中是自相矛盾的。

在某一点上，泰格马克认为场 "只是在时空的每一点上用数字表示的东西"。然而，在其他地方，泰格马克也认为，场 "只是"一个数学结构。重复一下：泰格马克认为，场是由 "时空中每一点上的三个数字 "来 "表示 "的。然而，他并没有说唱是一组数字。

因此，也许在论证"事物本身是数字 "和论证世界是数学的之间存在着区别。后者可能只是说，世界表现出的特征最好由数学来表达（或描述）。另一方面，前者指出，世界就是数学。

现在以弦理论为例

米乔-卡库和弦理论

弦理论不仅看起来比物理学的其他领域更依赖于数学，一些物理学家甚至把弦理论看作是 "纯数学的一个分支"。

例如，弦理论家Michio Kaku（1947-）说：

一位哈佛大学的物理学家说，弦理论根本不是真正的物理学分支，实际上是纯数学的一个分支，或者是哲学。

在卡库提出毕达哥拉斯式的观点后，他又引用了阿尔伯特-爱因斯坦的话，指出以下几点：

我相信，我们可以通过纯数学的结构来发现概念和规律......这为理解自然现象提供了关键。
经验可以提出适当的数学概念，但这些概念肯定不能从经验中推导出来。

现在，上述所有的话确实听起来是毕达哥拉斯式的。而爱因斯坦在他的最后一句话中似乎或多或少地坦白了这一点。因此：

因此，在某种意义上，我认为纯粹的思想可以把握现实，就像古人所梦想的那样。

奇怪的是，卡库似乎还为我们提供了一个相互矛盾的说法（在他的《超越爱因斯坦》一书中）：

爱因斯坦揭示了他得出伟大发现的方式的一个线索：他用物理来思考。数学，无论多么抽象或复杂，总是后来才出现的，主要是作为一种工具，将这些物理翻译成精确的语言。
费曼和其他伟大的科学家用表达基本物理概念的方式来思考。数学是后来才有的"。

至于对卡库的毕达哥拉斯主义的驳斥，首先卡库以这种方式阐述了毕达哥拉斯主义的基本立场：

毫不奇怪，毕达哥拉斯派的格言是'万物皆数'。最初，他们对这一结果非常满意，以至于他们敢于将这些法则应用于整个宇宙"。

然后卡库认为，通过弦理论我们所拥有的是 "物理学家回到毕达哥拉斯式的梦想"。

量子力学

菲利普-鲍尔

科学作家菲利普-鲍尔（1962-）认为，量子力学的数学 并没有说明任何关于真实世界'的事情。许多物理学家以及一些哲学家也都赞同这种观点。然而，这可能看起来是一个奇怪的立场。这很奇怪，因为如果量子力学的数学在预测、应用、工程、技术和其他方面都非常成功，那么它肯定是关于真实世界的。

然而，"真实 "这个词在这里究竟起了什么作用？它是否意味着数学必须反映这个世界？但这是如何做到的？即使数学完美地描述了物理现象，那么所有这些实际上是世界本身的镜像吗？当然，如果量子力学的数学反映了世界，那么它看起来和那个世界是一样的。在这种情况下，这种镜像的目的是什么？

因此可以说，数学不能反映世界。尽管这样说，但有一件事仍然是肯定的。

如果没有数学，我们对量子世界几乎没有什么可说的。也就是说，我们不能观察、感觉、甚至想象量子世界。因此，对于量子世界，数学是我们所拥有的一切。

数学帮助物理学家定义了原本无法定义的东西。夸克是一个纯粹的数学构造。除了其数学定义之外，它没有任何意义。夸克在宏观世界中没有类似物。

因此，如果数学是我们所拥有的一切，那么许多物理学家认为量子力学并没有真正说明现实世界的任何问题，这其实并不奇怪。或者，至少关于量子世界的一切重要的甚至是相关的都是由数学说的。

即使是费曼也不 "知道数学意味着什么"。这可能是因为 "数学意味着什么 "这句话几乎毫无意义。至少，这里有一个暗示，我们不能超越数学。