丘成桐之问：“理解万岁，死背万罪”真的对吗？

分清简繁，从简到繁，

化繁为简，以简驭繁；

考场一分十年功，

简单东西要熟练。

----------周长生

丘成桐的疑惑

2020 年 12 月 7 日，丘成桐在北京雁栖湖举行的 2020 年清华大学全国重点中学校长会，暨 2020 年基础学科拔尖人才衔接培养论坛上的演讲，有说这样一段话：

“从不同的文化或教育系统来看数学教育，我发现一个有趣的现象：

一方面，中国有许多家长太过担心孩子因为不懂做题目而考不好试、进不了最好的中学或大学。

另一方面，现在有很多数学教育家（包括在美国的数学教育工作者），坚持学生做算术题时，非要答对每一步运算、都懂得推理不可，且极力反对孩子们背乘法表。

坦白说，我浸淫数学 50 多年了，在数学研究有突破的时候，还是会用到别人的成果。

开始时，我只能假设他们的成果正确，先向前走一步，再回过头来看他们的成果是否站得住脚（事实上，现在有些名学者连后面这一步也不顾，直接就发表他们的文章了）。

这表示什么呢？即使最前沿的研究，我们也不可能对所走的每一步都理解通透之后，才能进步。

所以在教育儿童时，有部分靠推理，有部分靠记忆（例如背熟乘法表），这样才能学得好，学得快。

要知道，掌握一门学问需要长期浸淫，记熟了的一知半解的知识，经过长期琢磨，一般会融会贯通，渐渐了解它的意思。

我小时候读唐诗、宋词、古文，根本不懂文字的意思，但朗诵起来好听，日后慢慢也就懂了。

最重要的是，背诵后牢记于心的诗词歌赋，一生受用，需要遣词用句的时候，可以随笔而出。”

让丘成桐都感到疑惑和不解的反对背诵九九乘法表的现象，其背后争论的到底是什么？接下来让老吴来做深度分析和拆解。

是否背诵乘法表之争背后的本质

记忆VS理解

2012年6月中旬，英国政府通过了一项“回到基础”的学数学课程方案，该方案重新强调背诵九九表、心算、计算分数、甚至机械的学习方式。

英国的部长和教育工作者罕见地一致认为，“要向东方看齐”。

与此同时，国内不少数学工作者和家长却发出反对背诵九九乘法表的声音。

这种有趣的反差背后，本质原因是大家对数学学习中记忆与理解的地位和两者之间关系的理解有很大差异。

在反对背诵九九乘法表的人眼里，数学学习就是理解的事情，记忆特别是机械记忆比理解的层次低太多，对数学学习来说，记忆性学习时间性价比太低，完全没存在必要。

他们的口号就是“理解万岁，死背万罪”。

这真的对吗？

深究这种观点，里面其实隐含了两个致命的前提假设错误：

第一，把记忆和理解完全分离对立，

第二，把理解当作一个静态的结果。

从现在主流教育心理学的共识来说，

首先，记忆与理解不对立；

理解本质上就是组织良好，联系丰富的长期记忆形成的认知结构，记忆与理解从本质看是一家人，所以没有记忆哪来理解？

其次，理解不是一个静态结果，而是一个动态发展过程。

随着新知识不断增加，新旧知识有意义的联系不断建立，对一个概念或事物的理解程度也在不断加深，修正或更新。

理解永远是进行时，没有完成时。温故而知新，融会贯通说的就是这种理解的不断更新迭代、加深现象。

机械记忆与意义记忆

记忆分短期记忆和长期记忆，所谓记牢就是要把短期记忆变成长期记忆，短期记忆形成长期记忆主要有两种方式，

一种是大力（蛮力）出奇迹，靠先天记忆力，简单重复，最后形成直觉，这种就是机械记忆；

另一种是四两拨千斤，靠后天记忆法，理解意义，建立知识间的有机联系和广泛网络，这种就是意义记忆；

这两种类型记忆各有各的应用场景。

简单的，基础的，没特别多引申意义，后续很多知识训练会高频利用到的，可以采取机械记忆，比如小学阶段背诵乘法口诀和平方表；

复杂的，篇幅长的，跟其他知识有平行关联，富有引申涵义的，自身已经有一定量的知识储备，这种尽量采取意义记忆，比如小高以后背诵课文；

两种记忆没有天然的高低之分，更不是非此即彼的对立关系，只有根据孩子不同年龄阶段发展水平，知识储备，知识背景的区别，根据适合场景，适合范围的要求，按照需要记忆的知识特点，分工不同，选择不同而已。

在国家教师资格考试专用教材的小学生身心发展的特点与培养章节中，对小学生这两种记忆方式的发展特点和如何利用这两种记忆方式写得很清楚，原文摘抄如下：

”一般来说，学前儿童和低年级小学生主要采取机械识记的方法，中高年级小学生比较多地采取意义识记的方法。

教师应该充分利用低年级小学生的机械识记能力占主导地位的特点，让其记住一些难以意义识记或无须意义识记的材料，这对小学生以后的学习和发展具有重要价值。

同时慢慢引导发展其意义识记的能力。“

所以我们固然不能把机械的学习和记忆作为数学学习的目标,尤其不可作为学习评价的依据。

但机械记忆，也有其存在的必要性和场景，不应视为洪水猛兽一概否定。

对于一些陈述性的知识，例如”辛亥革命发生在1911年“，直接机械记忆，无需过多理解探究。

一些非常基础的知识，例如认识方块汉字，识记英文生词,掌握古文经典，都需要大量的记忆背诵。

就数学而言，小学生要背诵九九表也是绝大多数人的共识。那些数学名词、阿拉伯数字，符号、书写规则等等，也都需要大量的机械性的记忆。

进一步说，那些基本概念，算法程式，规律公式，论证方式，在理解的基础上，也要熟练地记忆，形成下意识反应，以便为创新思维留出更多的空间。

总之，不要低估机械记忆的作用,不要否定背诵、默写、演练等教学方法的使用。在新加坡，很多优秀教师使用的传统方法，就包括记忆背诵。

数学中先记忆使用，后争取理解的典型知识

数学学习推崇知其然且知其所以然，但也不用避讳学习过程中，还是存在不少知识只能先知其然而不知其所以然，先记住规则使用起来，留待后面有机会进行更高阶学习的时候再寻求意义理解。

这种情况有个专业名称叫“教学平台理论”。“平台”是借用计算机科学的名词，例如“Windows”文字处理平台。对“Windows平台”等,拿来会用就是了。

除少数专家之外，一般人只知其然，不必详细了解它的“所以然”(底层代码)。

事实上许多数学内容已经作为平台在使用。

例如，希尔伯特严格的《几何基础》、戴德金的实数分割说、康托尔的实数序列说、公理化的实数系统等等。

除非是这方面的专家，普通数学学习者不必都需要理解其所以然，我们只要记住其意义和作用，能够站到这个平台上往前走就可以了。

中小学数学里，先记住使用后寻求理解的的内容其实不少。

总结下来大致有以下几类。

第一类，前人使用的语言。

数学课程里要出现许多专有名词、符号，以及表述格式等，都是一种语言，这是前人形成的习惯。我们只要记忆模仿，知其然即可。

例如三角比之一的正弦，为什么叫正弦?为什么用sin这个符号表示?

为什么二次曲线之一叫椭圆,不叫“扁圆”?

这些都是前人不断总结选择、后人继承修订的结果。

对于数学语言，我们主要是记住和使用，而不是问其理由。

第二类，约定俗成的规则。

例如，为什么自然数从零开始;

复数的乘法为何如此定义;

负负得正的理由何在;

设置平行公理是否合理;

为什么数学要用逻辑论证;

数学的严密性怎样形成的;等等。

这些问题都是前人根据经验加以概括而成的运算法则和思想体系。

我们只能知道其价值，无法说明其所以然。

就负负得正而言，它是一种运算规则。我们可以举出一些实例(火车的方向和时间前后等)，也可以用约定一些运算规则(如结合律分配律等)。

但是，这些不过是一种合理化的说明，并不是全部的“所以然”理由。

第三类，无法严格处理的内容。

中小学数学中有许多概念，学生只能先模糊地接受下来，当作平台使用而无法知其所以然。

例如，圆周率Π是无理数，证明起来就很麻烦，但是不知道Π为什么是无理数，并不影响学生求圆面积、球体积。

再如，什么是面积体积的定义?中小学根本无法严格定义。

第四类，一些基本技能的训练。

中小学课程里有大量的基本技能训练要求，在一开始时无法说清为什么要这样做，只能当作平台接受下来。

例如，初中的“有理数运算”、“式的运算”等等，

高中里的许多恒等变换如三角变换、绝对不等式的证明等等。

背诵乘法表的理由和意义

回归本文主题，前面已把反对背诵乘法表的错误假设清晰指出，并对数学学习中暂时没法理解，需先记忆接受下来当平台使用的必要性，也做了充分说明，下面我再从正面阐述背诵乘法表的主要理由和意义：

1.记忆可以通向理解

有些人在数学学习中过于强调理解，轻视甚至有些鄙视记忆，实际上如上文所说，没有记忆就无法理解，理解是记忆的综合。

九九乘法表的背诵记忆，可以形成一种算法直觉，计算的条件反射。

理解不能孤立进行，对一些数学运算规则，能够理解的当然要操练；

一时不能理解的也要记住口诀或规则先操练，在操练中逐步加深理解；

2.速度帮你赢得效率

还有些人认为数学学习，只要会做就可以，速度不必强调，但我们的评价体系除了考核准确度，还要兼顾速度效率。

只有把基本的运算和基础的思考，化为“直觉”，能够不假思索地进行条件反射，才能赢得时间去做更高级的数学思维活动。

事实上，在实际练习或考试中遇到计算题，背诵和运用九九乘法口诀形成的肌肉记忆、条件发射，不仅保证了效率，正确率也会高过用脑运算。

3.化繁为简，以简驭繁

吴群众亲都知道，我特别推崇周长生老师，他也非常重视乘法口诀的背诵。

不仅是因为口诀是熟练进行乘法运算的基础，更因为一位数加法口诀和九九乘法口诀是整个整数四则运算的奠基石，我们可以利用这两个口诀生动的，完美的展示化繁为简，以简驭繁的数学学习高观点。

这两个口诀是“化繁为简”，从而实现“从简到繁”的关键工具。

比如，学会一位数乘法之后，当我们学习2356x47时，应该用什么方法呢?

必须把2356x47化成8个简单的一位数的相乘，即6x7，5x7，3x7，2x7，6x4，5x4，3x4，2x4，

接着再化成5个简单的一位数相加，即，2+0，9+4，4+2，6+4，1+9，

最后才能得出结果110732。

可见，要想实现“从简到繁”，必须能够“化繁为简”。

把2356x47化成简单的一位数相乘以及更为简单加法之后，才能求得结果110732。

显而易见，同理可得，任意多位数乘多位数的乘法计算，都可以最终转化为只需要使用最简单的乘法口诀和加法口诀。

这就是用简单的东西解决复杂的问题，即以简驭繁。

这点也恰恰是背诵乘法口诀的最大价值和理由。