数学里的自然底数e是怎么来的？数学家欧拉揭开了它的神秘面纱

e (自然常数，也称为欧拉数)是自然对数函数的底数。它是数学中最重要的常数之一，是一个无理数，就是说跟 π 一样是无限不循环小数，在小数点后面无穷无尽，永不重复......

下面就是 e 的 2999 位有效数字，请注意不同的位我用不同的颜色表示出来了，有规律吗？还是随机的呢？

与我们更熟知的两个无理数圆周率 π 和 √2 不同，它不是由数学家由几何问题上发现而来的，而出自一个金融问题，是用来表示增长率和变化率的常数，很多增长与衰减过程中都出现了 e 的身影。

它为什么会和增长率有联系呢? 让我们回到来 17 世纪，看看发现 e 的第一人：瑞士数学家雅各布·伯努利以及他所研究的这个银行的利率问题.

▲ 伯努利家族里的几位数学家与欧拉

e 与复利问题

雅各布·伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象: 假设在银行存了 1 块钱本金，而银行提供的年利率是 100%。这样的话，1 年后连本带息，将会得到 2 块钱，这个非常容易理解。

那么现在考虑改变计息的周期，假设半年就计算一次利息，半年利率为 50%，这样下半年新得到的利息同样可以生息。这样方案最终的收益应该比前一种更好，如何计算最终收益需要用到复利公式。

解释一下上面的复利公式：FV（Future Value）是指财富在未来的价值；PV（Present Value）是指现值，亦即指本金；i（interest）是指周期内的固定利率或固定回报率，n 则是累计的周期。现在直接导入公式中就能算出一年后收益。

这样看来一年后共会获得 2.25 块钱。恩，看起来要比只计息一次强。那现在计算利率周期如果再短一些会怎么呢? 假设每个月结算一次呢？这样月利率为 1/12 ，上面复利公式只要稍作改动，最终计算得到大约 2.61304 块钱，这个方案会又好一些。

现在可以看出这样的规律，利息的周期越短，一年后的收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期，变为每周计算，这样一年计息的次数就是 52 次 .

回报继续增加，这样我们甚至可以按每天来计息，或者半天、小时、分、秒来计算. 当然年末所获得的收益亦会继续增多. 不过雅各布.伯努利发现随着 n 趋于无穷，对于这样的连续复利存在着一个极限，一个神秘的数学常数由此出现了:

对于上面式子考虑的极限值将是多少呢？

伯努利知道会是一个 2~3 之间的数，尝试许久。但最终很可惜他并没有计算出来. 这个问题由 50 年后，也就是1748年由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉借助下面的公式计算出来 e 的小数点后 18 位 2.718281828459045235......，这就是描述增长率的自然常量 e 由来.

e 是无理数

欧拉不仅算出了 e 的 18 位数，并且还借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数。下面图像是 e 小数点后 21 位的连分数形式，观察最左侧是 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12……。

发现规律了没有？如果取得 e 小数点后无穷位的话，这样连分数展开式就满足这样有趣的模式，那就意味着它是个无理数.

欧拉恒等式中 e

既然提到了 e ，通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式(Euler's identity)，被美国物理学家费曼誉为最美的数学公式。因为这个等式居然把数学上 5 个最基本且重要的常数如此巧妙地联系起来。

这个式子究竟是怎样出现的，我想就在另一篇文章中再介绍吧！