为什么我们非得去找代数方程的整数解？

　　
2019年，被科幻迷奉为经典的宇宙终极答案“42”，终于迎来了它的立方和方程解，即方程x^3+y^3+z^3=42的解。当时数学家利用了全世界50万台计算机并行运算了几个月终于找到了答案，后来他们投入到了3的第三组解上。如今，新的答案也已出现。但这就是数学游戏吗？近2000年前古希腊数学家提出的问题，今天我们的数学家在为之努力什么呢？

　　撰文 | 张和持

　　离x^3+y^3+z^3=42告破仅一年多，数学家们又在前些日子找到了 x^3+y^3+z^3=3 新的一组整数解。后者的前两个解释颇为简单：

　　1^3+1^3+1^3=3

　　4^3+4^3+（-5）^3=3

　　但数十年来，第三组解迟迟没有被找到。其实我们并不是那么关心这个解究竟是多少。如果单单看这个等式，我们除了感受它的壮丽以外，并不能比没有计算机的古希腊人理解得更多（公式左滑显示）：

　　我可以断言，这个式子目前对数论学家而言几乎没有意义。我们能得出结果，只是因为算法效率变高了，计算机性能比50年前更强了，甚至对于解的估计也取得了进展。但这仍然是一个孤立问题，就算求出了一个解，也不会为下一个解提供任何线索，更难以帮助我们站在更高的角度理解这个问题。不光是x^3+y^3+z^3=k ，数论学家们研究的大多数方程看起来都没有意义。这不禁让我们产生疑问，这样的代数方程看起来没有任何特殊之处，为什么我们偏要去求它们的整数解呢？

　　关于算法的技术细节想必没多少人会关心。我只想通过这篇文章给各位读者一个初步的印象——数论不是复杂技巧，也不是冗长计算；我们在数论中寻找的是最深刻的数学关系。

　　亚历山大港的温暖夏夜

　　从古希腊时代人们就开始研究方程。比如最为有名的直角三角形：

　　3^2+4^2=5^2

　　小学生也能找到几组整数解：(3, 4, 5), (5, 12, 13)。这样由整系数多项式组成的方程，从那时候起就是代数研究的中心。它们有的来源于几何，也有不少纯粹是出于人类的好奇心。其中做出奠基性贡献的，当属罗马时代生活在亚历山大港的希腊数学家，丢番图（Diophantus of Alexandria）。为了纪念他，我们称这些方程为丢番图方程。关于丢番图，或许读者们还记得他的墓志铭曾出现在小学数学题中：

　　坟中安葬着丢番图。

　　多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

　　上帝给予的童年占六分之一，

　　又过十二分之一，两颊长胡，

　　再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

　　五年之后天赐贵子，

　　可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

　　悲伤只有用数论（即算数，这两者在古代是同一个词）的研究去弥补，

　　又过四年，他也走完了人生的旅途。

　　丢番图

　　还得靠业余数学家

　　古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落而逐渐被人遗忘，丢番图的作品要沉寂到千年以后，才能等到被另一位对数论情有独钟的数学家发扬光大。16世纪开始，《算数》才被逐渐翻译为拉丁文。其中最有名的一个版本，是1621年由巴切特翻译出版的：这本书曾经被皮埃尔·费马摆在案头。

　　被称为“业余数学家之王”的费马可能比大多“专业数学家”都要强，其对概率论、微积分、解析几何等分支都做出过开拓性贡献。不过他心中的最爱还是被称为数学的王冠——数论。在费马生活的年代，数学并没有什么实际用途，而他纯粹把这当玩具：或许就如同今天我们玩数独一样。每当有所发现，他就会写在《算数》的页边上。费马的很多注释后来都演变成了重要的研究方向，其中最负盛名的当属所谓的费马大定理：

　　当整数n>2时，关于 x,y,z 的不定方程x^n+y^n=z^n 没有正整数解。

　　他继续写道：关于这个问题，我确信我发现了一种绝妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下了。今天只流传下来费马对于n=4情况的证明，不过现代观点普遍认为他当时不可能证明得了这个定理：300年后由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）找到的证明所用到的方法远非费马时代可以想象。

　　费马的工作正式宣布，近代意义上的数论研究开始了。不过这些与现实没有任何关系的数学并没有发展动力——数学最忌讳的就是孤立的问题。无穷小分析可以凭借直观的函数图像与物理直觉；代数的抽象结构来自于数与多项式的自然结构。可是早期的数论却不能找到更深刻的关系。难怪高斯会这样评论费马的问题：

　　我承认我对费马的定理没什么兴趣，这是个孤立的命题，像这样没人能证明也不能证伪的命题我随手就能写下一大串。

　　站在高斯的角度，他说的确实没什么毛病。费马大定理或者别的任何丢番图方程可解，或者不可解，对其他的数学分支貌似产生不了什么影响。不过从高斯至今，我们对于数论的认识已经发生了翻天覆地的变化。数论的影响已经超出了“算数游戏”的范畴哦，成为了现代数学赖以生存的源泉。

　　下金蛋的鸡

　　据说曾有人问希尔伯特，为什么不去证明费马大定理。这位大数学家回答道：我可不想杀了这只生金蛋的母鸡。这句话足以证明费马的无用之学对于数学有多么巨大的影响。读者肯定会有疑问，明明这篇文章是想解释整数解的意义，为什么要谈那么多费马大定理？我们可以用希尔伯特的话来回答：

　　数学的艺术在于找到一个特例，其中隐含了所有推广的胚芽。

　　在挑战费马大定理（或者费马猜想）的过程中，人们发现了理想之于环论的中心地位，注意到亏格与有理点数量之间的神奇关系，还建立了模形式与椭圆曲线之间美妙联系。其中任何一项成果，都比代数方程有没有解这个问题本身重要的多。算术几何整个学科都得感谢费马在几百年前兴趣使然开始的研究。这样我们就很难不去怀疑：这才仅仅是一个方程，如果我们能破解所有方程中隐藏的秘密，那岂不是能让整个代数的冰山浮出水面？（费马大定理只研究正解，所以严格来说不算丢番图方程；后来也发现其存在诸多特殊之处，而大量丢番图方程的重要性至今仍然未知）

　　梦 碎

　　希尔伯特是一位伟大的梦想家，他乐观期待着数学的发展。在1900年的巴黎会议上，他提出了著名的23个问题，其中第十个，便是关于丢番图方程的：

　　任给一个丢番图方程，是否存在一个通用的算法可以判断其是否有整数解？

　　希尔伯特内心深处一定坚信这样的算法是存在的。1930年，他作为当时最伟大的数学家，在故乡柯尼斯堡接受了采访。访谈的最后，他铿锵有力地道出了最理想主义的口号：

　　我们必须知道，我们必将知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）

　　他不仅认为丢番图方程全都能解，他还进一步猜想任何数学命题都是能被人类证明的。如同他的传记中写的那样，希尔伯特就像是数学界的亚历山大大帝，满怀着梦想，要征服到世界的尽头。可才过了一年，这个预言就被天才数学家哥德尔（Kurt Gödel）证明是错的：公理体系的完备性是未知的，相容性也是未知的。不是数学方法不够巧妙 ，也不是数学家不够努力，而是数学本身的鸿沟隔绝了逻辑。人们逐渐开始怀疑，丢番图方程也没有万能的解法，从而开始寻找算法不存在的证据。

　　希尔伯特到了晚年，也不忍离开纳粹统治下的祖国。法西斯主义者清除了大学中的犹太人及其亲属。无数学者不堪忍受疯狂的民族主义而选择背井离乡，其中就包括了与希尔伯特亦师亦友的外尔、柯朗等人。哥廷根不再是那个全世界学者憧憬的圣地，“哥廷根之外无生活”的豪言也仿佛隔世。希尔伯特在孤独中离开了人世，在他去世后的几年里，数学家们开始转向研究丢番图方程的不可解性。不过这项工作极其复杂，直到几十年后的1970年，希尔伯特的十问才得以宣告不可解。此时希尔伯特的故乡柯尼斯堡已经从地图上消失，原本的城市成为了苏联领土加里宁格勒；与地图的变化同时到来的，还有新的时代，新的技术，以及新的数学。

　　新的时代

　　如今正是数论及其相关学科发展迅猛的年代。数学家们对代数几何充满信心：近半个世纪的发现远超过以往任何时代之和，而且发展势头也不像是要停下来的样子。但即便如此，我们对于素数，丢番图方程以及它们背后蕴含的深刻数学的了解仍仅是冰山一角。

　　或许可以打一个不恰当的比方。在物理学中，带有“论”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：广义相对论不能重整化；量子场论没有严格的数学基础；弦论得不到实证，甚至某些推论与实验还不相符；而”M理论”本身就是一个猜想。人类对宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理论物理学家才会痴迷于其中的奥秘。对于整数论（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待着人们探索，它的美等待着人们发现。或许人类永远都无法对整数有足够多的了解，整数论也永远不可能改名叫整数力学（Number Mechanics），不过我相信任何有志于数学的人，都能像费马和丢番图一样，在数学中找到真正的快乐，以及自己人生的意义。

　　参考文献

　　[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html

　　[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf

　　[3]
https://www.famousscientists.org/diophantus/[4] 康斯坦丝·瑞德, 希尔伯特数学世界的亚历山大.[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat.

　　[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.