主要内容:
本文通过对函数两边同时取自然对数,以及幂指函数变底方法,介绍计算y=(2sin2x+1)^(cos2x)的一阶导数的主要步骤,并介绍求点(π/4,1)处的切线方程。
方法一:取自然对数法
∵y=(2sin2x+1)^(cos2x)
∴lny=cos2x*ln(2sin2x+1),
两边同时对x求导,则:
dy/y=-sin2x*ln(2sin2x+1)dx+2cos2x*cos2xdx/(2sin2x+1)
=[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]dx/(2sin2x+1),即:
dy/dx=(2sin2x+1)^(cos2x)*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1).
方法二:幂指函数变底方法
∵y=(2sin2x+1)^(cos2x)=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]
∴dy/dx
=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]*[-sin2x*ln(2sin2x+1)+2cos2x*cos2x/(2sin2x+1)]
=e^[cos2x*ln(2sin2x+1)]*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1)
=(2sin2x+1)^(cos2x)*[2cos2x*cos2x-sin2x*(2sin2x+1)*ln(2sin2x+1)]/(2sin2x+1).
求函数的切线:
对于点A(π/4,1)处,该点处导数值为:
dy/dx(x=π/4)
=[2cosπ/2*cosπ/2-(2sinπ/2+1)*ln(2sinπ/2+1)]/(2sinπ/2+1)
=-ln(2sinπ/2+1).
=-ln3
由直线点斜式方程,可得函数切线方程为:
y-1=-ln3*(x-π/4).
幂指函数既像幂函数,又像指数函数,二者的特点兼而有之。作为幂函数,其幂指数确定不变,而幂底数为自变量;相反地,指数函数却是底数确定不变,而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为变量的函数。
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