作为小学数学的基本知识，我们已经知道平面几何的许多特性。比如三角形的内角和为180度，四角形的内角和是360度，五角形的内角和是540度等。这个再简单不过的道理，其实是人类几何学研究两千多年的结晶。
现在不妨问一下你自己，三角形内角和180度，你应该怎么证明呢？在公元前3世纪的时候，古希腊数学家欧几里得就留下了一本名叫《几何原本》的数学图书，现代数学家普遍认为，这是人类平面几何学的基础。
《几何原本》中提出了五条公理，五条公设，以及二十三条定义。这些公式定理都很好解释，但最后一条公设是个例外。欧几里得告诉我们，在平面内的一条直线，跟其他两条直线相交在一起，如果直线同一侧的两个内角和小于180度，那同侧的两条直线延长后一定会再次相交。
数学家们对第五条公式感到疑惑不解，看上去它像是平行线不相交的另一种解释，但证明起来相当麻烦。一直到2000年后的1795年，英国的普莱费尔才简化了这一定义，提出“通过直线外的一点，只能做一条平行线“。
几何学中的黎曼几何和罗巴切夫斯基几何，几乎都认为欧几里得的第五条公设不成立，黎曼几何认为在平面里，三角形内角和大于180度，而罗巴切夫斯基几何则认为平面内三角形内角和小于180度。
虽然大家用量角尺能够测量出每一个三角形的内角和都等于180度。其实欧几里得的第五公设，本身就是一个独立存在的真理。而它的反面同样也是一个真理，第五公设本身是难以被证实的。非欧几何的建立看似和物质世界格格不入，但它恰恰是爱因斯坦广义相对论的数学基础所在。
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