3月，堪称是数学的主题月。
从3月的第一个星期三“国际数学日”到3月14日下午1时59分的“圆周率日”，我们体会了数学的无穷奥妙。
通过数学，我们开启了生命的密码、体察到了宇宙运行的规律，而接近它却是一个漫长的过程。
今天的故事，就让我们从中国人算出圆周率的这段故事开始说起吧。
祖冲之与圆周率
祖冲之祖籍河北涞水（今属河北保定），与北京市的门头沟区和房山区相接。他出生于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康（今江苏南京）。
祖家是一个官宦人家，祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大夫，类似于宰相和国策顾问。
他的祖父和父亲都在南朝做官， 祖父是大匠卿，掌管宫室、宗庙、陵寝等的土木营建；父亲是奉朝请，这是闲散大官。古时称春季的朝见为朝，称秋季的朝见为请。
这个家族的历代成员，大多对天文历法颇有研究。
祖冲之像
相比之下，祖冲之担任过的官职虽然较低，但却在天文学和数学领域，乃至机械制造方面都取得了突出的成就。
在刘宋时期，他曾担任南徐州（今江苏镇江）的从事史，这是督促文书、察举非法的官职。他也做过娄县（今江苏苏州昆山）县令，还有掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。
到了萧齐王朝，他曾官至长水校尉，这是祖冲之一生担任的最高官职（四品）。
从青年时代开始，祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚的兴趣，他曾在著作中自述，自幼时起“专功数术，搜炼古今”。
祖冲之把从上古时期起至他生活年代的各种文献资料都搜罗来研究，同时亲自进行精密的测量和仔细的推算，不把自己束缚在古人陈腐的思想中。
可以说， 祖冲之批判地接受了前人的学术遗产，并勇于提出自己的新见解，这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。
在数学领域，祖冲之师承的是比他早 200 多年的魏晋时期的刘徽， 后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。
刘徽
由圆面积计算公式 S = πr² 可知，只要求得圆的面积（S），再除以半径的平方（r2），即为圆周率（π）。关于如何求圆面积，刘徽在《九章算术》的注释里这样写道：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
刘徽从圆内接正六边形开始计算面积，依次将边数加倍，求出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等的面积。随着边数的增加，内接正多边形的面积越来越接近圆的面积，圆面积和圆周率的精确度就越高。
刘徽的割圆术
在古代，包括中国和巴比伦在内的一些民族，都把 3 作为圆周率。在这方面，古埃及人的计算较为准确，他们得到的圆周率为 3.1。
刘徽用他的割圆术，求得圆周率为 3.14，这与古希腊数学家阿基米德算得的圆周率是一致的，不过后者比刘徽要早 6 个世纪。学界普遍推测刘徽也算出了 3.141 6，但未有直接的证据。
祖冲之算出的圆周率 π 的范围为：3.141 592 6 < π < 3.141 592 7
即精确到小数点后7位。此外，他还得到了被称为密率的355这个分数形式的圆周率，虽然只精确到小数点后6位，却同样令人惊叹。
直到962年以后，祖冲之的圆周率才被阿拉伯数学家卡西改进。卡西利用余弦函数的半角公式简化了计算，将圆周率精确到小数点后17位。而德国人奥托（V. Otho）求得密率，则比祖冲之晚了1000多年。
卡西
祖冲之的这些成就是如何取得的？没有任何相关史料留下来，祖冲之的著作全部失传了，记载圆周率值的《隋书》也没有具体交代。
由于当时只有刘徽的割圆术这一种方法，因此我们只能猜测祖冲之用的是割圆术。
那样的话，他需要算出圆内接正24576边形的面积，而密率（有日本学者建议称之为“祖率”）的求得，恐怕是借助了前辈天文学家何承天发明的“调日法”。
球体积与大明历
相比圆的面积，球（古人称之为“立圆”）体积的计算公式更富技巧。在中国古典数学名著《九章算术》里，是按照以下比例公式来求球体积的：
显而易见，正方形面积、圆面积和圆柱体面积这三项数值是比较容易求得的。
祖冲之知道这个公式有误，他在为《大明历》所写的驳议中写道：
至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏剧疵也……臣昔以暇日， 撰正众谬。
可见球体积计算也是祖冲之的工作之一，但是，400 年后唐代学者李淳风却在为《九章算术》所写的注文中，将它作为“祖暅开立圆术”加以引述。无论如何，我们可以将它看成是祖氏父子共同的研究成果。
牟合方盖
说起来，祖冲之父子的这一成就，也是在刘徽的研究成果的基础上取得的。刘徽首先发现上述比例公式的错误，并提出“牟合方盖” 的新概念，它指垂直相交的两个同样直径的圆柱体的共同部分。
在上述比例公式中，刘徽用牟合方盖体积来代替圆柱体体积，即
这个思想和方法是正确的，但可惜的是，刘徽本人求不出牟合方盖的体积。而这一步是由祖氏父子完成的，他们求得球体积公式为4πr³。
但遗憾的是，这个公式早在公元前3世纪就有了，同样出自古希腊数学家阿基米德之手。
我国知名数学家蔡天新教授
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编辑：楚旂
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