函数的“前世今生”，历经7次扩张定义，每次都更广泛

数学的发展过程中，很多重要的概念，从它最初的原始状态，随着时间的推移，由种种原因而被一次一次地扩张、推广，成为更广泛、深刻、精确的概念。比如函数概念的发展就经历了7个发展阶段。

最初，“函数”与“幂”同义，这种把幂视为函数，可看作“函数概念的分析起源”。然而，莱布尼茨在1692年的论文中，并未把“函数”按幂的意义来使用，而采用完全不同的意义。莱布尼茨定义的函数：曲线上点的横坐标，纵坐标，切线的长度，垂线的长度等，凡与曲线的点有关的量，称为函数。而莱布尼茨的这种函数定义，可看作“函数概念的几何起源”。

第一次扩张

莱布尼茨之后，伯努利兄弟在早期也采用莱布尼茨的函数定义。然而，在1718年，约翰·伯努利改用函数定义：由一个变量x与常数构成的任意表达式，称为x的函数。

约翰·伯努利对函数概念的改造，可看作函数的分析概念的第一次扩张。变量和常数可按算术运算、三角运算、指数和对数运算表达为任意表达式，欧拉把这种表达式称为“解析函数”，并进一步区分为“代数函数”和“超越函数”。

欧拉第二次扩张

在“解析函数”的基础上，对连续函数积分的讨论，使得函数的范畴扩大到几何学上的函数，并认为几何学中的曲线可分为3类，并依据曲线是否能用一个表达式表示来区分“真函数”和“伪函数”，而且对函数的认识含混不清。幸运地是，傅里叶凭借论文《热的分析理论》，纠正了人们对函数的认识，使人们放弃“真函数”和“伪函数”的概念。

傅里叶第三次扩张

傅里叶对函数概念的纠正，促使柯西寻求新的函数定义，于是有了柯西的定义：若对x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是x的函数。

按柯西的函数定义，函数不再限制于用一个表达式，这自然比“真函数”的概念更广泛。另外，柯西给出了连续函数的精确定义，至今仍被采用。但柯西认为，x和y的函数关系，是可以用若干个解析式表示的。

柯西第四次扩张

关于柯西函数定义中，x和y的关系能否用解析式表示出来，似乎没有多大的意义。因此，黎曼、狄利克雷进一步取消这种限制，给出了更广泛的函数定义：若对x的每个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y是x的函数。

狄利克雷描述了一个特殊的函数f(x)：f(x)在x为有理数时总为1，在x为无理数时总为0。很明显，该函数对一切x都不连续，很难用一个或若干个式子来表；不论能否通过一个表达式描述，依照黎曼的定义，f(x)是一个不折不扣的函数。

对于上面的函数，狄利克雷最终还是巧妙地给出了表达式：

容易验证，该式f(x)在x为有理数时为1，在x为无理数时为0。

第五次扩张

到黎曼、狄利克雷为止，函数f(x)的自变量x，其取值总是连续地。而第五次概念扩张，取消了对自变量变域的限制，使其与集合论相结合，进而扩大了近代函数的研究领域，同时使得自变量或函数的概念更广泛。

第六次扩张

第五次的扩张，虽然取消了变量变域的限制，引入了集合，但自变量及函数的范围仍然仅限于数，维布伦和伦内首先突破了数的范围，在他们的著作中首先使用了变量、常量的定义：

变量的定义：所谓变量，就是代表事物的集合中任一事物的记号。

区域的定义：变量x所代表的“事物的集合”，称为该变量的区域，或变域。

常量的定义：常量是变量的特殊情形，即是上述集合中只含有一个“事物”时的变量。

变量所表示的任一元素，称为该变量的值，因此，变量不再仅限于数，更具一般性。基于此，维布伦给出了函数的新定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间有这样的关系成立，即：对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数。

按照维布伦的函数定义，x和y可以为数，也可以为点，可以是有形的，也可以是无形的，元素的集合是连续的或者不连续的均可。毫无疑问，这种定义是极其广泛的。

第七次扩张

第七次的扩张，就是所谓的“集合函数”：设u是由许多集合构成的集合。若对u的每个元素A(A本身也是一个集合），另一集合B中都有完全确定的元素B与之对应，则称集合B是集合u的集合函数。

若u,B的元素A,B(A,B本身又都是集合）都是由一个元素构成，此时集合函数就是维布伦定义的函数，除此之外，集合函数还包括在现代数学以及其他学科中所使用的诸如多值函数、复变函数、可列无限个独立变量的函数以及由这些函数构成的函数等。

总结

函数概念从最初的“幂”或“几何学上的量”，先后经历解析函数、真函数和伪函数，再取消自变量为数的限制、引入集合，使得函数的概念越来越宽泛。而函数概念的发展，正是一代代数学家力图使概念一般化的结果。而像函数概念这样类似的发展，在数学史上并不是罕见的。从已知的概念、定理出发，建立以原有的结果为特殊情形的更为广泛的概念、定理，似乎是数学家的永恒追求。