中考热点，函数动点特殊三角形问题

近几年，中考数学压轴题逐步迈向动态研究，以直角坐标系为背景，研究函数图像中因动点形成的特殊三角形是其中较为特殊的一类，问题融合了动点、函数，几何特性等内容，综合性强，备受命题人青睐。频频出现各省市的中考试卷中，值得我们反思。

函数图像中动点形成的特殊三角形类型较为众多，典型的有等腰三角形、直角三角形、等服直角三角形，以及具有特殊关系的相似三角彩、全等三角形等。该类问题往往以直角坐标系为背景，函数与几何相聪，图像灵活多变，动静结合，需要充分把握其中的几何特性，利用函数知识来构建解析思路。

以函数动点形成的等腰直角三角形为例，解析问题时需要把握其中的

“等腰““直角”，结合几何推理和代数运算进行问题转化从几何视角分析，可以进行等角推导、角度计算；从代数视角分析，可结合特殊角的三角函数、勾股定理的线段关系、斜率与角度关系选行突破，往往该类问题的解析过程包含了丰富的思想方法，而灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想，数学建模是解题关键本文以函数动点与等腰直角三角形为例进行探究。

01典型剖析

例1．（2020眉山）已知一次函数y＝kx b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

【解析】（1）利用待定系数法求解即可．一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA S△OCB＝×4×3 ×4×1＝8．

（3）分三种情形：①AO＝AP，②OA＝OP，③PA＝PO分别求解即可．

由题意

例2．（2020桂林）如图，已知抛物线y＝a（x 6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．

（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

【解析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论：a＝﹣，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2,A（﹣6，0）；

（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；

如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，

∴E（﹣2，0），

∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，

∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，

∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，

∴∠CME＝90°，∴M（﹣2，2），

例3．（2020广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x 1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．

（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；

（2）s关于t的函数解析式为

其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；

（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l1上，所以设B（x，x 1），利用y＝0代入y＝x 1可得G点的坐标，在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B的坐标B（﹣，）；

（2）先把（7，4）代入s＝中计算得b＝﹣1，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t 1）（t﹣5）中可得a＝﹣；

（3）存在，设B（x，x 1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，②当∠ACB＝90°时，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．

（3）存在，设B（x，x 1），

分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，

∵AB⊥l1，∴AC∥l1，

∵l1：y＝x 1，C（0，3），∴AC：y＝x 3，∴A（﹣2，1），

∵D（﹣2，﹣1），

②当∠ACB＝90°时，如图5，

∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，

∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），

例4．（2020赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2 bx c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x 2经过B，C两点．

（1）直接写出二次函数的解析式______；

（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；

（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，

∴①当△MEN∽△OBC时，∴∠MEN＝∠OBC，过点M作MH⊥x轴于H，

∴∠EHM＝90°＝∠BOC，

02总结归纳

上述问题求解，往往需要从函数解析和几何推理两大视角进行了假设论证，总体上采用“假设一验证”的策略。

1.思路构建

函数解析时通常的做法是延长线段，作平行线或系线，利用直线与曲线相交来确定动点的位置，然后联立直线与曲线的方程确定动点坐标，直线解析式的求解通常利用已知点的坐标，借助斜率与几何关系的关联来构建。

一般的思路为“构形一函数定点→特性验证”，几何推理法则侧重几何特性推导，直接构建相应的等腰直角三角形，利用相似、全等来求解相关的线段长，从面确定动点的坐标，后续只需确定动点是否位于曲线上即可，即一般思路为“构形一特性定点一函数验证”。

在分析过程中，往往要分析的对象不是固定不变的，所以要判断是否有多种可能，并选择合适的分类标准，并结合具体几何背景进行分析及计算解答。

2.解析步骤

函数与几何法是探究函数动点特殊三角形存在性问题的两大有效策略，实际解析时可以综合使用，即利用数形结合的方法，利用几何特性，推导动点位置，借助函数解析确定动点坐标，该方式可有效排除干扰，减少讨论内容，具体步骤如下。

第一步——动点假设：假设图像中存在满足条件的动点；

第二步——设定分类：根据题干信息确定可能出现的情形；

第三步——动点定位：作图构形，利用直线、曲线的相交确定动点的大致位置；

第四步——确定坐标：采用效形结合的方式，综合函数与几何方法进行条件转化，求解动点坐标；

第五步——验证猜想：验证所求动点是否满足条件，可利用两种方法验证，即，一，满足几何特性的点是否位于真线与曲线上；二，位于直线或曲线上的点是否满足几何特性。

03教学反思

函数动点特殊三角形存在性问题有着极高的教学价值，有助于学生融合知识，提升能力，下面提出几点教学建议。

1.归纳问题特点，探寻问题本质

函数动点的特殊三角形问题是抛物线、直线、几何相结合的重要表现形式，该类问题往往借助动点来构建特殊的三角形，具有函数与几何相融的特点，其中点的坐标是串联两大知识模块的翅带。

在教学中，教师要引导学生深刻认识问题中函数与几何相融的本质，归纳特殊三角彩的性质特点，总结两大知识联系紧密的性质、定理，如勾股定理、三角形相似性质、锐角三角函数知识等，帮助学生奠定该类问题求解的知识基础。

2.总结问题解法，形成解题策略

上述所探究的问题属于函数与几何相结合的典型代表，其解析方法具有一定的研究价值，其中的函数解析与几何推理方法是常见的突破思路，实际上也是问题条件转化的基本策略。

教学中，可引导学生总结两种方法的解析特点，从函数与几何的联系点出发，总结解题思路，帮助学生形成数形结合解析思维。

实际教学中，可采用一题多解的方法设置典型例题，从不同的视角开展问题探索，使学生深刻认识问题，形成解题策略模型。数学基本模型有其存在的价值和使用的便利之处，正因为数学模型思想具有普遍的应用价值，建议教师要重视并引导学生拥有主动建模的意识和熟练建立模型解题的能力。

3.渗透思想方法，提升数学思维

函数与几何综合题同样也是对数学思想的考查，因此，教学中需要合理渗透思想方法，使学生体验利用思想方法探究问题的过程。需重点渗透数形结合思想、分类讨论思想、数学建模、化目与转化思想，通过数学建模降低患维难度、设定分类标准，编合转化思想来转化条件。