诡异的量子纠缠，如何用数学理解？

“量子纠缠”这个词我没必要再解释了，能点击看这篇文章的人对这个术语再熟悉不过了。但很多人读了不靠谱的文章而对量子纠缠变得更模糊了。有的文章为了所谓的通俗而把量子纠缠比喻成心灵感应，甚至是太极八卦。科普作者水平的局限性也导致了读者理解的局限性。专业的知识还需要严谨的解读。本文会涉及一些符号和数学知识，但我尽量通俗一点。毕竟通俗和严谨很难兼得，笔者今天就尝试一下。

讲量子纠缠之前，我必须简单提及一下光学的历史。毕竟人类对光线本质的思索才更深层次地领略到微观世界的神奇。

早在牛顿之前，人们就开始思考光的本质。牛顿之前的历史暂不过多提及，牛顿认为光就是极小的实体粒子，因为这可以完美诠释“光为什么沿直线传播”的问题。当然也有一部分人反对牛顿，比如惠更斯，和牛顿同时代的胡克都是光的波动学说的簇拥者。光如果仅是粒子，那么光线的衍射和干涉现象就很难解释了。

在现在看来，不管是光的粒子学说还是波动学说都属于经典力学的范畴，两派都是片面之词。直到20世纪初，随着量子力学的建立，人类对光本质的认识才有了质的飞跃。爱因斯坦的光量子假说认为光并非是牛顿所说的实物粒子，而是光量子。光量子是电磁波能量的基本单位，不可再分割。

光量子简称光子，不仅是量子，也是一种波。光既具有粒子性也具有波动性，也称光的波粒二象性。

当然这是光子的特征。可随后物理学家发现除了光子，更多的微观粒子也具有波粒二象性。

比如电子的双缝干涉实验，也表明原本被认定为粒子的电子也具有波动性。这个实验更神奇的结果是，同一个电子可以同时经过两个细缝抵达光屏。现在我们知道电子在不被观测时可以同时处于两个位置。用波粒二象性的观点解释：电子在不被观测时，既具有粒子性也具有波动性，处于粒子和波态的叠加状态，观测行为导致电子的波粒二象性坍塌成粒子性了，而波动性消失。从不确定性原理（曾被误译为测不准原理）的角度解释：电子的动量和位置不能同时测得；动量测得越准，位置越不准，反之亦然。

电子的双缝干涉实验

当然你会惊呼这种现象，但越来越多的实验却不断证实自然界就是如此“荒谬”。如果量子力学的解释是错的，那么你今天就不会用到手机和电脑。第三次科技革命也建立在如此“荒谬”的自然现象的基础上。

有的民科始终要推翻哥本哈根学派对这种看似荒谬的自然现象的诠释，而捍卫物理实在论。而科学家做的却是：既然这是自然事实，那就认定呗。接下来要做的就是用数学如何解释这种现象。

我们现在知道了，所有微观粒子都具有波粒二象性的，并且都是叠加态的。其实德布罗意波告诉我们：所有物体，包括地球这样的宏观天体也具有波动性，只不过幅度小到难以观测到而已。

光的波粒二象性示意图

什么是叠加态呢？以电子为例，单独的一个电子在不被观测时可以处于两个位置，理论上一个电子可以在美国，同时也可以在中国。那如何用数学描述这一现象呢？

我们都知道传统的电子计算机运算的是0和1这样的比特位。计算机一次只能运算一个位，要么0要么1。对于一串010111000.....，计算机只能挨个位来处理，一个个排队来。

而量子计算机之所以运算量惊人，在于它可以同时处理两个比特位。在运算速度上以数量级的形式碾压了传统计算机。

有个物理学家叫狄拉克，他发明了一种符号，叫狄拉克符号|ψ>，用于描述叠加态的粒子。其实一个粒子同时具有两个状态就相当于中学物理的矢量概念，既有大小也有方向，所以叠加态也可以称为态矢量。

狄拉克

狄拉克符号的书写主要就是一个|和>，至于中间的ψ就是随便一个字母，表示粒子的状态而已。|>就是类似的符号用于表达某种物理形式，不要碰见陌生符号就怕了。

我们知道电子可以同时处于0和1的状态。那么用狄拉克符号表示：电子处于0的状态就是|0>，处于1的状态就是|1>。如果不观察电子，电子就是处在0和1的叠加状态，于是就是|0>+|1>。

我们现在讲一些预备的数学知识。如果函数f(x,y)=xy，那么f(x,y)这个函数就可以分解成两个单独的一元函数之积，比如f(x,y)=f＇(x)f〞(y)。这就意味着f（x，y）这个大函数可以完美分家成两个小函数，分别是f＇（x）和f〞（y）。数学上这叫分离函数。

可是还有很多函数并不是分离函数。比如f(x,y)=8xy+1。这时候我们就不能将函数f（x，y）分成两个一元函数了。那么这就表明此函数不能分离。

如果现在有很多微观粒子在同一个系统下，每个粒子都有自己状态的函数。一个粒子是一元函数，两个粒子是二元函数，多个粒子就是多元函数。多个粒子组成系统就是一个多元函数。

如果这个多元函数可以分出两个的一元函数，那么这两个一元函数代表的粒子就没有什么“经济”纠纷，两个粒子井水不犯河水。测量其中一个粒子，另一个粒子也没有任何改变，那这两个粒子就不是纠缠粒子。

多元函数中也可能存在无法分离开来的函数，那么这时候两个粒子的函数就只能共用同一个函数而不能分家，这时候两个粒子就产生了“经济纠纷”，对其中一个粒子进行测量，势必影响到另一个粒子的“经济利益”。那么另一个粒子肯定要有所改变来捍卫自己的权益，那这两个粒子就组成了纠缠粒子。

继续回到狄拉克符号。现在有一个粒子，它的状态a|0>+b|1>。观测这个粒子后，发现它不管是0状态还是1状态，理论上都可以在空间的任何一个位置。所以在狄拉克公式中，不管是0状态还是1状态，都要在它们前面加两个任意的数a和b。正是由于a和b的存在，才可以让这个叠加态的粒子处于空间的任何位置，因为a和b可以任意取值。

但是a和b之间必须有个关系。大家试想一下：不管粒子在哪里，我在整个空间找到这个粒子的概率一定是100%，粒子不可能凭空消失在整个宇宙空间中。如果我把整个空间换成数学上的1，那么|a|+|b|=1。如果我们取a和b都为1，那么a|0>+b|1>就变成（|0>+|1>）/√2（除以根2是由于要确保|a|+|b|=1，因为我们前面已经取a和b为1了）

（|0>+|1>）/√2也是最常见的单粒子叠加态的表示方式。如果甲乙两个粒子在同一个系统中，那么它俩的表示方式就是|00>+|11>，这个表式中加号左边的（|00>的第一个0表示甲的0状态，第二个0表示乙的0状态，加号右边|11>中的第一个1表示甲的1状态，第二个1表示乙的1状态。当然我也可以继续写出a|00>+b|11>，这时候如果|a|+|b|依旧等于1，那么我们才可以确定的说，甲乙两个粒子处于叠加态，这时候的狄拉克式子就写成了|00>+|11>/√2。事实上|00>+|11>/√2表明这两个粒子存在着某种关联而无法分解出来，这种关联就是|a|+|b|=1。你可以把这种关联想象成前面已经讲到的不可分离函数。

这就是量子纠缠，这种关联也导致即便两个粒子相距多么遥远，测量其中一个粒子的状态，另一个粒子的状态也会同时发生改变！