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微积分的力量:一个最初与形状相关的理论,如何重塑了人类文明?

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  有一种罕见而有趣的历史观点认为,世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。

  小说家赫尔曼·沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研,他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家,理查德·费曼就是其中之一。采访结束临别之际,费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解,于是费曼说道:“你最好学学微积分,它是上帝的语言。”



  理查德·费曼(左)赫尔曼·沃克(右)

  宇宙是高度数学化的, 但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式,因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何,一个神秘且不可思议的事实是,我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。我敢打赌,如果有什么东西称得上宇宙的奥秘,那么非微积分莫属。

  人类在不经意间发现了这种奇怪的语言(先是在几何学的隐秘角落里,后来是在宇宙密码中),然后学会熟练地运用它,并破译了它的习语和微妙之处,最终利用它的预测能力去重构世界。

  这是本书的中心论点

  如果这个论点是正确的,那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42,为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”(《银河系漫游指南》中的一台超级计算机)的解题思路是正确的,因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。


  ▲ 《银河系漫游指南》剧照,“深思”给出宇宙的终极答案:42, (图源duitang·com)

  费曼的那句妙语“微积分是上帝的语言”,引出了许多深奥的问题。我之所以写作本书,就是为了让每个人都能了解关于微积分的最精彩的思想和故事。我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算,就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。

  为了帮助你理解我们讨论的方向,我先说一下什么是微积分。简言之,微积分就是想让复杂的难题简单化,它十分痴迷于简单性。这可能会让你感到惊讶,因为微积分向来以复杂性著称。

  微积分成功的方法是,把复杂的问题分解成多个更简单的部分。当然,这种策略并不是微积分独有的。微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于,它把这种分而治之的策略发挥到了极致,也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块,而是无休无止地切分下去,直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。

  因此,微积分可分为两个步骤:切分重组。用数学术语来说,切分过程叫做微分学。重组过程叫做积分学。

  现在,我们终于可以阐明这个伟大的理念了。

  为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象(不管它看起来有多么狂野和复杂),把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物,分析这些部分,然后把结果加在一起, 就能理解最初的那个整体。

  而这一切的难点就在于,我们需要和无穷打交道,但无穷是微积分中最令人头疼的问题,它往往会挣脱主人的控制,不可避免地会攻击创造出它们的人。

  微积分的创造者意识到了这种危险,但仍然发现无穷的魅力不可抗拒。当然,它偶尔也会发狂,带来悖论、困惑和哲学灾难。不过,数学家每次都能成功地征服无数怪物,理顺它的行为,让它重回正轨。驾驭无穷并利用它的力量,这种欲望是一条贯穿微积分的2500 年历史的叙事线索。

  无穷原则围绕着方法论主题构建了微积分的故事。但微积分既与方法论有关,也与谜题有关。最重要的是,有三个谜题促进了微积分的发展,它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。

  一切都始于曲线之谜。

  没有人能算出一个球体的表面积或体积有多大,即使是求圆的周长和面积,在古代也是一个难题。人们既不知道该从何处着手,也找不到便于理解的平直部件。总之,所有弯曲的东西都难以捉摸。

  微积分就是在这样的背景下诞生的,它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。圆、球体和其他曲线形状是他们那个时代的“喜马拉雅山脉”,它们激发了人类的冒险精神。就像攀登珠穆朗玛峰的探险家一样, 几何学家之所以想解决曲线问题,是因为它们就在那里


  有些几何学家坚持认为“曲线事实上是由平直部件构成的”,这种观点带来了突破性进展。尽管这不是事实,但我们可以假装它是真的。那么,唯一的问题就在于,这些部件必须无穷小,而且数量无穷多。通过这个巧妙的构思,积分学诞生了,这是人们对无穷原则的最早应用。多个世纪以来,世界上最伟大的数学家都在努力探究这个难题的解决办法。不过,通过共同的努力(有时还伴有激烈的竞争),他们终于在破解曲线之谜上取得了进展。


  用微积分原理绘制的需下颌手术的患者面部模型(左二)和预测术后效果模型(右二)

  之后,人们开始解决第二大谜题,也就是地球上和太阳系中的运动之谜。

  我们将在本书的中间章节里看到,微积分的下一次重大进步源于对运动之谜的探索。就像在破解曲线之谜时一样,无穷原则再次挺身而出。这一次,我们的创造性假设是,速度不停变化的运动是由无穷多个无限短暂的匀速运动组成的

  17 世纪中期,微积分的发展时断时续,非常缓慢,代数一部分数学家当作笑话,渐渐失去话语权。

  这时有一个孩子在圣诞节那天出生了——早产儿,没有父亲,3 岁时又被母亲遗弃了。想法消沉的孤寂男孩就这样长成了沉默寡言、猜疑心重的年轻人,不过,名叫艾萨克·牛顿的他日后会在世界上留下空前绝后的印记。


  ▲ 艾萨克·牛顿

  他先是通过把代数的符号与无穷的力量结合起来,他找到了一种方法,可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线(用变量x 的幂来描述,比如x²、x³、x^4 等)的和。仅用这些“食材”,通过加一点儿x、少许x² 和满满一汤匙x³,他就可以“烹饪”出他想要的任何曲线。有了它,牛顿就能解决关于形状或运动的任何问题了。

  之后,他破解了宇宙密码。他仅用几个微分方程(他的运动和万有引力定律),就能解释包括炮弹的飞行轨迹和行星的运行轨道在内的所有现象。牛顿的惊人的“世界体系”统一了天和地,掀起了启蒙运动,改变了西方文化, 对欧洲的哲学家和诗人产生了巨大的影响。他甚至影响了托马斯·杰斐逊和《独立宣言》的起草。


  ▲ 牛顿手稿

   在破解了曲线之谜和运动之谜后,微积分转向了它的第三个由来已久的谜题——变化之谜。

  在执行这项宏大计划的过程中,微积分一直在与其他科技领域合作,为实现世界的现代化做出了贡献。1917 年,阿尔伯特·爱因斯坦将微积分应用于一个简单的原子跃迁模型,从而预测出一种被称为受激发射的神奇效应。几十年后,这个预测被证明是正确的。第一台可运行的激光器在20世纪60年代初建成,从那时起,光盘播放机、激光制导武器、超市的条形码扫描仪和医用激光器等设备都离不开激光。

  变化定律在医学领域并不像在物理学领域那样为人熟知。然而,即便被应用于基本模型,微积分也能对挽救生命做出贡献。比如,在微积分提供的对病毒繁殖速度的新认识的帮助下,HIV感染已经从几乎被判了死刑的疾病转变为可控制的慢性疾病。

  不可否认的是,我们身处一个不断变化的世界之中,它的某些方面超出了无穷原则固有的近似性和出自主观愿望的想法,比如量子力学不再遵循牛顿运动定律。可即使在牛顿的物理学行不通的亚原子领域,他的微积分也依然有效。事实上,他的表现相当出色。

  现在是时候去更深入地了解宇宙的语言了,当然,我们这趟旅程的起点是“无穷”站。

  

本文摘自中信出版·鹦鹉螺《微积分的力量》:引言,有删改。【遇见数学】已获授权


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