第27讲 典型例题与练习参考解答：变限积分与定积分的近似计算

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第27讲：变限积分与定积分的近似计算

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例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：已知 求变限积分函数

在 上的表达式.

练习2：计算下列各导数：

(1) ；

(2) ，其中 连续.

练习3：求下列极限：

(1) ；

(2) ；

(3) ，其中 连续，且 , .

练习4：确定常数 的值，使得

练习5：设 在 上可导, 且 , 其反函数为 ，满足

求 的表达式.

练习6：设函数 在 上连续，且 ，

证明： 在 上的描述的曲线为凹曲线．

练习7：设 在 上连续且 ，证明：

在 内为单调递增函数.

练习8：设 在 上连续且递减，证明：当 时，

练习9：设 在 上连续，在开区间 内可导，且 , . 证明：

练习10：设 在 上连续，在开区间 内可导，证明：至少存在一点 ，使得

练习11：若函数 在 上连续且单调增加，证明

练习12：设 是区间 的任一非负连续函数.

(1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.

(2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的.

练习13：(1) 设函数 在闭区间 上可微，且 . 证明：

(2) 设 在 上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：已知 求变限积分函数

在 上的表达式.

【参考解答】：(1)求 的表达式.

当 时，有

当 时，有

综上可得

1. \hfill \cr} \right." data-formula-type="block-equation">

(2)求 的表达式.

当 时，有

当 时，有

综上可得

1. \hfill \cr} \right." data-formula-type="inline-equation">

练习2：计算下列各导数：

(1) ；

(2) ，其中 连续.

【参考解答】：(1)直接由变限积分求导公式，得

(2)直接由变限积分求导公式，得

练习3：求下列极限：

(1) ；

(2) ；

(3) ，其中 连续，且 , .

【参考解答】：(1)由求函数极限的洛必达法则，得

(2)由等价无穷小和洛必达法则，得

(3)直接由洛必达法则，得

【注】该题可以直接令 f(x)=x 验证结果的正确性.

练习4：确定常数 的值，使得

【参考解答】：因为 时， ， 故得 . 代入极限式并由洛必达法则，得

故得 ，从而得极限值 .

练习5：设 在 上可导, 且 , 其反函数为 ，满足

求 的表达式.

【参考解答】：在已知方程两边对 求导, 得

由题设知 ，整理得

积分得 . 代入 ，得 ，故

练习6：设函数 在 上连续，且 ，

证明： 在 上的描述的曲线为凹曲线．

【参考解答】：令 ，去掉被积函数绝对值，有

由变限积分求导公式，得

因 在 上连续，且 ，所以 ，即函数 在 上的描述的曲线为凹曲线．

练习7：设 在 上连续且 ，证明：

在 内为单调递增函数.

【参考解答】：直接由变限积分求导公式求导得

由于被积函数中 且 ，故由积分的保号性知 ，即 在 内为单调递增函数.

练习8：设 在 上连续且递减，证明：当 时，

【参考证明】：令

则 , .

由于 在 递减，于是有

0,0 < x < \xi \cr & F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( \xi \right) < 0,\xi < x < 1 \cr} " data-formula-type="block-equation">

由此可知 在 内单调递增，在 内单调递减，所以

从而可得

即原不等式成立.

练习9：设 在 上连续，在开区间 内可导，且 , . 证明：

【参考证明】：令

则 ，且

由于 , ，所以当 时， , ，于是可得 . 再令

则 . 并且

于是可得 ，即 在 上单调增加，知 特别有 ，即

练习10：设 在 上连续，在开区间 内可导，证明：至少存在一点 ，使得

【参考证明】：依据中值等式命题的一般证明步骤，有

将端点0，1代入，无法确定中括号内值的符号，因此不好直接考虑零值定理验证. 所以考虑构建中括号内的一个原函数，使用罗尔定理来验证. 容易发现积分上限函数的导数正好为被积函数 ，而 ，所以上式的一个原函数为

显然 在 上连续，在 上可导，并且有

所以满足罗尔定理的条件，于是由罗尔定理得

练习11：若函数 在 上连续且单调增加，证明

【参考证明】：令

则

于是

因为函数 在 上单调增，最后的被积函数 中 ，所以 ，所以积分的保序性，可得 ，即函数 单调增加，所以

从而有 ，即原不等式成立.

练习12：设 是区间 的任一非负连续函数.

(1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.

(2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的.

【参考证明】：(1)结论等价于证明存在 ，使得

令 ，则 在 上连续，在 内可导，且 ，所以由罗尔定理，存在 ，使得

成立，即(1) 结论成立.

(2)取 ，则

由于 ，所以

即函数 在 上严格单调递减，所以 是唯一的.

练习13：(1) 设函数 在闭区间 上可微，且 . 证明：

(2) 设 在 上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数.

【参考证明】：(1)由不等式证明的一般思路，令

则 ，且

故 单调增加，即

故原不等式成立.

(2)由题设不等式求导展开且由 ，整理得

两端在区间 上积分，得

移项整理得

由对数函数性质，得

于是令 ，并由对数函数的单调性，得

故所证不等式成立.

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