第19讲：《函数的单调性、极值与最值及应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、函数单调性的判定方法

设函数 在 上连续，在 内可导，则

1、在 内 (或 且不存在任意子区间 ，则函数 在 上严格单调增加．

2、在 内 (或 且不存在任意子区间 ，那么函数 在 上严格单调减少.

二、单调区间确定的基本步骤

1、写出定义域

2、确定单调区间的分界点

驻点(函数导数等于0)和不可导点是连续函数单调区间可能的分界点. 以这些点为分割点分割定义域为定义区间.

3、列表确定单调性

依据各子区间内导函数符号判定函数的在各定义区间上的单调性.

4、写出单调区间并明确单调性

根据上面判定结果写出单调区间. 单调区间一般写成开区间，如果函数是闭区间上的连续函数，也可以是闭区间.

【注】如果需要判定函数不连续区间内的单调性，则一般考虑定义的方法，即在考虑的区间内任取 ，判定函数 ， 的大小(一般考虑差值法，如 的正负，或者比值法 大于1或小于1)关系来确定函数的单调性，函数值的大小关系与自变量大小关系相同，则为单调递增函数，否则为单调递减函数.

三、函数极值的判定条件

1、极值第一充分条件

设 在 处连续，在 的某去心邻域内可导，则

(1)如果 左正右负，那么 在 处取极大值．

(2)如果 左负右正，那么 在 处取极小值．

(3)如果 不变号，那么 在 处不取极值．

2、极值的第二充分条件

设函数 在 处具有二阶导数，且

(1)， 在 处取极小值；

(2)， 在 处取极大值.

3、极值的第二充分条件的推广形式

设函数 在 处具有n阶导数，且

(1)为偶数时， 为极值点，且 阶导数大于0，取极小值； 阶导数小于0，取极大值.

(2)为奇数时， 不是极值点.

【注1】该结论的证明用函数带皮亚诺余项的泰勒公式，并借助于极限的保号性和极值的定义法来判定.

【注2】极值的判别条件都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不说明极值不存在 . 需要寻求其它方法进行判定，比如定义法.

四、极值的判定与极值的计算的一般步骤

1、确定定义域

2、确定可能的极值点

求一阶导数并令其等于0，确定驻点和不可导点，即可能的极值点.

3、利用第二充分条件直接判定

求二阶导数，对于二阶导数不等于的驻点，根据二阶导数值符号判定极值类型，并求出极值（极值点处的函数值）.

4、利用第一充分条件判定

对于不可导点和第二充分条件判定失败的点，通过判定驻点或不可导点左右邻域内的导数符号来判定是否取极值，如果导数改变符号则为极值，并根据左右邻域内的导数符号的变化确定极值类型并求出极值（极值点处的函数值）.

5、利用定义判定

对于两个充分条都判定失败的点，考虑应用定义法判定. 如果判定为极值，则求出函数值即得对应的极值.

五、闭区间上连续函数最值计算的一般步骤

设 在闭区间 上连续，则一定存在存在最大值与最小值，最值存在的可能位置为区间内的驻点、不可导点和区间的两个端点.

(1)求出 在 内的所有驻点和不可导点. 记作 , , , .

(2)求 在 , , , 及区间端点的函数值；

(3)比较各点函数值的大小，最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.

六、单调性与极值应用题型及思路

1、验证函数不等式

• 改写、移项构建辅助函数，借助函数在区间端点的函数值，借助函数的单调性验证函数不等式；

• 借助极值获取函数最值的方式来验证函数不等式的成立(如函数大于等于最小值，小于等于最大值).

2、验证常值不等式

• 转换常值不等式为一个函数在两个不同点的函数值，并通过判定函数在由两个端点构成的区间上的单调性来确定函数在两个不同点的函数值的大小；

• 选取其中一个常值为变量，构建辅助函数，借助于函数单调性的判定来确定不等式；

• 转换为函数值小于常数值的结构来判定函数值的最值的方式来验证不等式.

3、判定方程的根或函数零点的个数

• 借助函数的严格单调性判定函数零点或方程根的唯一性；

• 借助最值获取函数最值的方式，并借助函数在最值点的正负和两侧的单调性来确定方程根或者函数零点的个数.

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