各位朋友，大家好！近来一段时间，数学世界将持续为大家分享初中数学题，希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道有关圆与全等三角形等知识相结合的几何综合题。
一直以来，数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学题 圆与全等三角形相结合）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC=BC，弦CD与AB交于E，AB=CD，过A作AF⊥BC于F．
（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AC=2CF+BD.
知识回顾
圆周角定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
分析：（1）由弦相等得到弧相等，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，证明∠ABD=∠CAB，即可得出结论：AC∥BD．
（2）根据需要证明的结论AC=2CF+BD，以及这三条线段的特点，作出恰当的辅助线构造出全等三角形。在BF上取一点H，使得FH=FC，连接AH，AD．这样CH=2CF，只要证明△ABH≌△ABD，便可以推出BD=BH，于是可得结论．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（1）解：AC与BD的位置关系是：AC∥BD．
理由：连接BD．
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴弧AD=弧BC，（减去公共弧BD）
∴∠ABD=∠CAB，（等弧所对的圆周角相等）
∴AC∥BD．
（2）证明：在BF上取一点H，使得FH=FC，连接AH，AD．
∵AF⊥CH，FC=FH，
∴AC=AH，（垂直平分线的性质）
∴∠ACH=∠AHC，
∵∠ACH+∠ADB=180°，（圆的内接四边形对角互补）
∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠ADB=∠AHB，
∵弧AD=弧BC，（已证）
∴AD=BC，
∵AC=AH，AC=BC，
∴AD=BC=AC=AH，
∴AD=AH，弧AD=弧AC，
∴∠ABH=∠ABD，
∴△ABH≌△ABD（AAS），
∴BD=BH，
∴AC=BC=CF+FH+BH=2CF+BD，
即AC=2CF+BD.
（完毕）
这道题属于综合题，考查了圆周角的知识、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。
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