磁聚焦和磁发散的磁场边界推导

1.什么是磁聚焦和磁发散

平行射入的粒子束依靠磁场作用会聚于一点的现象称为“磁聚焦”；粒子束由磁场中某一点发散射出，在磁场的作用下，最后都平行飞出磁场，称为“磁发散”。磁聚焦和磁发散是高中物理的一个知识点，常出现在各种试卷中。

2.磁场边界的简单推导

首先，我们需要做一些限定：

1) 磁场为均匀磁场

2) 带电粒子的初速度与磁场磁感线方向垂直

3) 粒子初速度和磁场强度为定值，粒子在磁场中的运动轨迹半径R亦为定值，视为已知量。

其次，约定在三维空间中，磁场方向为由上而下，粒子均在一个与磁场方向垂直的平面内运动。本文配图均为俯视图，正交图的磁场方向均为由纸面向里，透视图的磁场为图中场景由上而下。

最后，此推导仅为帮助理解，不适用于答题。

2.1 磁聚焦磁场边界的推导

粒子由左边沿水平方向射入磁场，要求均汇聚于点O，那么磁场边界是怎样的呢？

分析：粒子在进入磁场前沿直线运动，进入磁场后沿以R为半径的圆弧运动，且这段圆弧必过点O。入射前的直线轨迹必与入射后的圆弧轨迹相切，切点为入射点。

以O为原点，建立如图直角坐标系。

因为粒子在磁场中的轨迹(图中蓝色段)的半径R为定值，所以蓝色轨迹的圆心取值范围为一个圆。又因为粒子只从左边入射，因此圆心取值范围为左边的半圆，其方程为：

从图中易知，入射点为圆弧的最高点，因此它的轨迹就是圆心轨迹向上移动R，方程为：

这也就是磁场左边界的方程了。对于磁场右边，假如需要把用不到的磁场去掉，那么它也是一个半圆，合起来就是一个以R为半径的圆。

2.2 磁发散磁场边界的推导

要求粒子由O点朝坐标轴上方发散射出，最后都平行从右边飞出磁场。

分析：粒子飞出磁场前，其轨迹为一个圆弧，圆弧的半径为R。飞出磁场后，沿直线运动，且直线必与圆弧相切，切点为飞出点。

图中，红箭头为粒子的初速度方向，蓝色线为粒子在磁场中的轨迹圆，绿色箭头为粒子从磁场飞出的方向。黄色线为圆心轨迹。

同2.1，因为R为定值，圆心轨迹为一个圆，因为粒子均从右边飞出，因此圆心轨迹只能是圆的右半部分，方程是：

飞出点也是在圆心正上方一个R距离处。因此，磁场右边界方程为：

如果去除磁场左边多余部分，那么磁场就是一个半径为R的圆。

2.3 小节

不管是磁聚焦还是磁发散，其磁场均为一个以R为半径的圆。