微积分的漏洞：牛顿和莱布尼茨忽略了无穷小量，数学危机再次出现

每到高考，人们都会关注语文作文，数学反而没什么关注度，有人说是数学太难了，大家都看不懂。这当然是在调侃，不过也能看出来数学确实不是每个人都能学好的，这门学科要求你有严谨的数学思维。严谨，可以说是数学研究的核心。没了它，数学定理会出现纰漏，论证过程也不再完美无缺。

数学

数学大厦的建立，是一代代数学家共同完成的，一位数学家提出一个新概念新定理，都要经过数学界的检验。往往能发现其中的漏洞，就连微积分也逃不过这样的命运，没想到这次检验直接引起了第二次数学危机。

01微积分的创立

在微积分还没有出现的时候，数学家们已经应用了一些微积分的思想，但都是零散的，没有整理出来，具体定义也没有给出来。比如我国的数学家刘徽，他用割圆法求圆周率，这就是极限思想的一种体现，阿基米德还用极限思想求出了球体的表面积。

微积分

古希腊的数学家们纠结于“无穷小”是否存在，一直拖到了17世纪，西方数学界已经确认“无穷小”是存在的。牛顿和莱布尼茨便是支持者，随后他们便创立了微积分。起初，微积分被视为专门研究无穷小问题的工具，后来又引申到了多个领域。

现代数学有门分支叫数学分析，它便起源于微积分。

02数学危机

牛顿和莱布尼茨创立了微积分这不假，但出人意料的是，他们对无穷小量的描述都是模糊不清的。牛顿将它的定义修改了三次，第一次将其视为普通常量，之后的两次修改都失败了。

牛顿修改了三次

莱布尼茨别出心裁的选择了差分，试图将无穷小量转化为有限的差分，不过据他所说，过程并不顺利，转化几乎不可能实现。

不要小看了这个定义，当时的数学家在计算无穷小量的时候，有时候会通过变换将其消除，这就变相承认了无穷小量是有限量。有时候又将无穷小量视为零，计算时直接忽略不计。学过数学的人都知道这不对，何况是整天和数学打交道的数学家？

部分数学家站了出来，指责微积分是谬论集中起来的产物。拥护微积分的数学家则想办法重新定义无穷小量，第二次数学危机爆发了，牛顿和莱布尼茨直到病逝都没能解决。

莱布尼茨也没能解决

03拯救微积分

大部分数学家还是支持微积分的，因为牛顿和莱布尼茨都说过，他们总结了大量前人的经验，是在前人的基础上发展出微积分的。如果否定了它，就等于否定了那些数学家。

无穷小量本身就是极限理论的组成部分，想要拯救它就得提出新的极限理论，旧的极限理论已经过时了。拉格朗日建立的极限理论有诸多不足，连无穷级数的收敛问题都没办法解决。为了构建新的极限理论，数学家们努力了将近两个世纪。直到柯西极限存在准则出现，极限理论才算建立起来。

无穷小量定义

拉格朗日没有解决的收敛问题，柯西极限成功解决了。无穷小量也不再是个模糊不清的概念，0是它的一个常量，它自己则是个变量。不仅如此，导数和积分也有了新的定义。数学家们探索无穷小量定义的过程，就是分析数学的过程，直接产生了一门新的数学分支。

第二次数学危机就这样被解决了，危机的根源就是我们现在熟悉的无穷小量，学过高数的人都知道，它的计算难度并不高。微积分的建立是牛顿和莱布尼茨独立完成的，他们的分歧点不只是无穷小量一个。

柯西极限存在准则

众多的分歧汇聚在一起，让数学家们的判断出现了混乱，也暴露了微积分在逻辑和概念上的漏洞，好在数学家们没有放弃，不然我们今天就看不见微积分了。