图解数学中重要的概念——根系统，从一维到高维

这是对组合学中一个重要概念——根系统的视觉介绍，它在代数和几何中起着重要作用。根就是在实向量空间中，向量具有的一些特殊性质，根系统是根的集合。我将尝试使用一系列图来介绍根系统。我希望这些数字能让我们更容易地了解根系统，并欣赏它们在更高维度上的结构。

一维

我们从一维的根系统开始。首先取一个单根，在这里显示为一个红色的向量。

每个根系统都以一组单根开始。当整个根集合包含它们的向量空间，单根构成了这个向量空间的一组基。所以我们需要恰好n个单根来构造n维的根系统。在一维情况下，只有一个单根。每个根都定义了一个垂直于它的平面，我们称之为反射平面。

平面定义了一个反射，所以每个根定义了一个根反射（一个通过垂直于那个根的平面的反射）。在这种情况下，只有一个根通过正交于它的平面反射。

我们已经构建了一维根系统，只是两个长度相等的相反的向量。为什么这是一个根系统？因为每个根(红色和黑色向量)定义的反射将每个根映射到另一个根。这里的两个根定义了相同的反射平面，反射只是交换了它们。我们说这些向量在根反射下是封闭的，这意味着每个向量定义了向量集合的反射对称。另外，您可能已经注意到了图上的点。每个根系统都有一个相应的根晶格。我们通过取根向量的和和差来构造根晶格。在一维根系统的情况下，晶格是沿直线等距的无限个设定点。

二维

让我们移到二维空间。现在我们研究实平面的情况，我们需要两个单根来。有一些选择，因为在二维中有多个根系统。也许最重要的例子是A2根系统，它从120度的一对单根开始。我们总是选择单根，这样每一对就是正交的或者是成钝角的。

如前所述，我们可以定义一个与每个单根正交的反射平面。

在这种情况下，反射又给出了两个根。

为了得到更多的根，我们定义了与第二个单根正交的反射面。

这就得到了最后两个根。

如果您仔细观察，您会注意到，无论我们选择六个根中的哪一个，对应的反射总是将根发送到另一个根。这就完成了我们对系统的构建。

二维根

注意到二维的根晶格是我们熟悉的蜂窝状结构。还要注意，尽管这个晶格是由六个根延伸而成的，我们只需要计算两个（红色）单根的和和差就可以得到晶格上的任意一点。同样，就像我们可以把一维晶格看成是按比例缩放的实数线上的整数集一样，我们也可以把二维晶格看成是按比例缩放的复平面上的一组点。结果表明，就像实数中的整数在加法和乘法下是封闭的一样，复平面上的A2晶格点在加法和乘法下也是封闭的。这个复数中的整数系统被称为艾森斯坦整数。

更高的维度

为了在更高的维度中处理根系统，我们必须使用新的工具，因为我们不能像上面那样绘制所有的根。相反，我们关注的是单根（图中的红色向量）。这项工作的最佳工具是coxett - dynkin图。

在Coxeter-Dynkin图中，每个节点表示一个单根。当两个单根成120度角时，我们在它们之间放一条边。如果它们形成一个90度的角，我们不会在它们之间放置一条边。一旦我们定义了一个根系统的单根，我们就可以像前面那样使用反射来构造整个根集。

例如，一维根系统只有一个单根，而在Coxeter-Dynkin图只有一个节点。

二维根系统有两个单根（成120度）。Coxeter-Dynkin图是由一条边连接的两个节点。

为了构造整个根系统，我们从Coxeter-Dynkin图中给出的单根开始，并进行根反射，直到我们没有得到任何新的根为止。

当没有办法将根划分成两个互相正交的集合时，我们说根系统是不可分解的。不可分解的根系统是完全分类的。我们可以使用coxett - dynkin图的简短列表来列出它们：

你可能会注意到，有些图具有带有头的双边或三重边。这些表示当我们从不同长度的单根开始时出现的新情况。这种情况下，箭头从长根指向短根。规则如下：

• 在双边的情况下，一个根的长度的平方是另一个根的长度的平方的两倍。这个角等于135度。
• 在三重边的情况下，一个根的长度的平方是另一个根的长度的平方的三倍。这个角是150度。

在一维和二维中，根系统的完整列表由以下Coxeter-Dynkin图给出：

A1 x A1的情况从两个正交的单根开始，得到一个正方形的网格。

B2也有相同的晶格，但开始时是两个单根，角度是145度。这意味着B2有一个A1 x A1的根子系统。

最后，G2情况与A2具有相同的晶格，但开始于150度的两个单根。这意味着G2有A2作为根的子系统。

简单图和“A，D，E”模式

类型A、D和E的根系统在许多方面是特殊的。关键是他们有Coxeter-Dynkin图，没有任何双边或三边。当coxter - dynkin图只有一条边时，我们称之为简单图。一个简单的图描述了一组单根，其中每一对是正交的或成120度。

A、D、E的根系统被证明与一种被称为星形闭合线系统系统的结构有关，卡梅伦在他的书《设计、图形、代码及其链接》中描述了这种结构。“直线系是一组直线，每一对直线都是正交的，或者形成一个60度的角。一颗星就是一个平面上的三条直线的交点，每对直线的夹角为60度。

我们可以从一颗星的任意两条直线中构造出一颗星，而星闭合线系统是一个由直线组成的系统，一个星闭线系统是不可分解的，当这些线没有被分割成互相正交的集合。

令我震惊的是，根系统的性质通常可以简化为关于星闭线系统及其对称性的性质。在许多方面，线系统更容易掌握，因为每对相反的根定义了一条线，当我们处理线时，我们不必担心它们之间的角度是钝角还是锐角。事实上，在星闭线系统中，最重要的是两条线是否正交。没有比这更简单的了。

每个根晶格都可以由短根单独构造而成。这意味着，尽管存在A、B、C、D、E、F、G类型的根系统，但只有A、D、E类型的根晶格。

• G2根系统和A2根晶格

了解根系统可以以意想不到的方式获得回报。自然界中的对称性是由根系统控制的。当我试图想象这些生物在更高维度的自然栖息地时，这个令人惊讶的事实令人很感兴趣，有时也会很烦恼。

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