根据定义，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。诸如1 / 2、3 / 5和7/4之类的数字称为有理数。和所有其他数字一样，无理数可以用小数表示。但是，与实数的其他子集（如图1所示）相反，无理数的十进制扩展永远不会终止，也不会像循环小数那样有着重复的序列。而圆周率π（圆周长与其直径之比）正是无数无理数中的一个（如图2所示）。
图1：该图展示了实数R的集合π的值已经由几个古代文明进行了估计。然而，在17世纪，在牛顿和莱布尼茨发现微积分之后，无限级数开始用于获得更好的近似值。一个例子是：
它是由印度数学家Madhava首次发现的。对于x= 1，它成为π的所谓莱布尼茨公式：
它的缺点是收敛速度非常慢。
图2：π是一个无理数的一个例子。它是圆周长与直径之比。另一个无理数的著名例子是2的平方根，它是由萨摩斯的传奇哲学家毕达哥拉斯的追随者发现的。
2的平方根是无理数()的一个例子。这里我们的目标是提供一个简单的证明π的非理性。为了做到这一点，我们将遵循尼文并从定义一个辅助函数f(x)开始。
引入辅助函数
让我们首先考虑以下(显然无关的)函数：
E.1：这个函数f (x)将用于证明π的非理性。其中n是整数。这个函数可以写成幂展开形式。例如，对于n = 1、2和3，我们有：
E.2：由公式1给出的n = 1,2,3时f(x)展开的例子。通常，一个具有以下相等性：
E.3：方程1中的函数写成幂展开形式。可以容易地确定系数。例如，对于n = 1，
对于n =3：
f (x)的属性
对于0< x < 1，我们有：
E.4：f(x)的第一性质这是f(x)的第一个重要性质。因为：
我们需要f(x)的其他三个性质。其中两项是：
E.5：f(x)还满足d 两个性质。其中(m)是m次导数。
我们需要的最后一个性质是：
这是一个整数。注意，f(x)的所有导数都是整数。由于f(x)在x和1-x交换时不变，所以函数本身及其导数在x=1时也是整数。
通过一个简单的例子可以使这些性质更加清晰。让n = 4，然后我们有：
从这里我们可以读出c系数的值：
我们可以看到所有的性质都是满足的(为了避免过多的杂乱，省略了m=6和m=7的情况)：
证明π的无理性
这个证明是由加拿大裔美国数学家伊万·尼文提出的。首先假设与我们要证反。更具体地说，我们假设π是有理数：
E.6：假设π是有理数，这是我们想要证反。然后构建以下函数：
其中E. 5用来消去大于2n的f(x)的导数。
加拿大裔美国数学家伊万
正如我们刚才看到的，f(x)和它的所有导数在x=0和x=1处都是整数。这意味着F(0)和F(1)，也就是F(1) + F(0)也是整数。我们现在使用以下等式：
E.6消去b，两边积分得到：
利用E.4可得：
但对于足够大的n：
这与我们之前发现的F(1) + F(0)是整数相矛盾。初始假设E.6因此虚假和π必须是无理数。现在如果π是无理数，那么π也是无理数。因此π也必须是无理数，证毕。
这个证明的优雅和简单是不可否认的。他们让我们意识到纯数学是多么的美好。
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