赵　颖：学生评教制度下分数膨胀的内在逻辑：博弈模型的建立

DOI:10.16298/j.cnki.1004-3667.2019.04.04

摘 要

学生评教制度的引入悄然改变了教与学的关系，可能导致师生之间的“互相取悦、互相关照”，成为分数膨胀的诱因之一。通过建立分数膨胀的数学描述，并利用博弈模型，分析了学生评教制度下分数膨胀的内在逻辑，以及教师间行为的相互影响。结果表明，在学生评教制度下，学生成绩和学生评教双重膨胀都是最优策略，且教师会互相模仿放松给分的行为直到全部教师都放松给分。遏制分数膨胀之风是“标”，树立良好学风，鼓励教师在教学上多投入、学生在学业上多努力才是“本”。

关键词

分数膨胀；学生评教；师生博弈；进化博弈；模仿者动态

一、引言

　　在高校，给学生的学业成就评分是一项基本的分类和信号机制，具有十分重要且难以替代的作用。分数标志着学生的学习成效，在某种程度上反映了高校的教学质量和教学成果，同时也对高校的人才培养质量起到把关的作用。然而近三十年以来，不同国家的学者都观察到高等教育中所谓的“分数膨胀”现象，如美国、英国、加拿大、法国、瑞典等，分数膨胀似乎已经成为一个全球现象。关于分数膨胀的定义，在不同的研究情境下略有不同，总结起来主要有以下两种：①在一段时间内，学生学业分数的绝对值发生了明显的增长；②学生学业分数的增长超出了其实际能力的增加。第二种定义考虑到了学生的初始能力，它剔除了因学生自身能力提高而带来的分数增长，余下的增幅即为实际的分数膨胀，显得更为理想和合理。

　　分数膨胀本身是一个简单且较易被观测到的现象，但其背后的发生机制却折射出高等教育重要的新特点：首先，为了满足社会对人才需求的迅速增长和个人接受高等教育的迫切需要，近几十年来，高等教育体量显著增加，一些发达国家的高等教育相继从精英化走向了大众化再到普及化，高等教育不再是众人仰望的“象牙之塔”，而变成了人人可得的“大众消费品”。学生规模的迅速扩大，使得教育理念和教育目标发生变化，造成教师在给分时较以往更为宽松。其次，高校“因科研而聘、因科研而升”的人事管理制度，使得教师“重科研轻教学”成为无法回避的事实。教师为了减轻教学压力，选择给学生高分以避免在学生索分、查分上“浪费”时间，以便把更多的时间投入在科研产出上。最后，在前述的两个背景之下，学生评教制度的引入，让教师和学生成了互相评价、互相打分的关系。学生需要好的分数来升学或就业，教师需要好的评教分数来晋升或评优，学校得益于更高的升学率或就业率而没有动力去干涉师生二者互打高分。在这种情境下，教师与学生二者的关系就有可能转化为“互相关照、互相取悦”的新型关系，教师和学生发生了“共谋”，互相“放水”，助长了分数的进一步膨胀。

　　国外学者对学生评教制度下的分数变化已经有了较多的研究，且很多实证研究结果都支持学生评教制度是分数膨胀的重要因素这一结论。Krautmann和Sander、Mcpherson等使用高校的学生成绩和评教分数行政数据，发现学生成绩和评教分数呈现正相关关系，并得出相似结论，即教师可以通过提高学生分数来“购买”评教分数。Gorry进一步发现教师严格给分这一举动会造成学生评教分数降低这一结果，两者具有明确的因果关系。我国学者对于学生评教制度和分数膨胀之间关系的关注较少。已有研究有的基于调查问卷、有的基于理论推导来探讨学生评教制度下教师为了“讨好”学生或主动或被动地选择放松给分。哈巍和赵颖使用委托代理模型讨论了学生评教制度下教师与学生关系的异化，并使用行政数据推断了学生成绩和评教分数的因果关系，亦发现两者具有明显的内在因果性。整体而言，以往研究中对于学生评教制度下分数膨胀的内在逻辑的深入理论分析和模型建立较为少见，而该内在逻辑的重要性使得进一步研究仍然是必要的。

　　对学生评教制度下分数膨胀现象的深入分析在我国高等教育新目标、新格局的背景下具有重要的现实意义。我国正在由高等教育大国向高等教育强国转变，走内涵式发展道路成为当下的必然选择，而人才培养是重中之重。只有找到人才培养的症结，才能精准发力、精确整改。在2018年全国教育大会上，习近平总书记谈到“高等教育经历了量的快速扩张，质的提升矛盾越来越突出”，他指出，“应当把立德树人作为根本任务”，同时对教师队伍建设提出了更高的要求，尤其强调不能把纯洁的师生关系变成“交钱上学、拿钱教书”的关系。可见，师生关系是影响人才培养质量的根本问题。由学生评教制度折射出来的不尽如人意的师生关系是如何发生和演变的，值得思考。

　　本研究利用博弈论作为分析工具，试图建立学生评教制度下分数膨胀的一般通用模型，以分析该制度下师生二者关系变化的内在逻辑，以及教师间行为的相互影响。希望利用分数膨胀现象为抓手，揭开高等教育人才培养运行内涵的冰山一角，为培养好人才成长的沃土建言献策。

二、分数膨胀的数学描述

　　本研究采用分数膨胀的第二种定义，即分数膨胀是学生学业分数的增长超出了其实际能力的增加。可认为分数膨胀是学生获得的实际分数比真实学业成就的评分高出的那一部分。

　　首先，对学生的实际学业成就做出定义。学业成就是指学生在教师的帮助下，通过学习活动取得的学习成果，包括学生的能力、态度、兴趣、学习成绩等多方面结果。以往文献研究的结果表明，大学生学业成就与自身的学习认知能力尤为相关（学习认知能力是指，在学习的过程中进行信息加工、储存、理解、提取，并灵活运用所学知识与技能的能力），学习认知能力强的学生可以较少的投入获得相对较高的学业成就。此外，学业成就与学生个人投入（包括学业参与、社交参与和学习目标等因素）存在正相关关系，并且也受教师的教学投入（包括观念态度、教学行为、教学反馈等）的影响。因此，我们将学生在课堂上实际收获的学业成就表示为：

　　SA=q（es+tet），0＜q＜qmax；0＜et＜1；0＜es＜1（1）

　　其中，SA为学生实际的学业成就，q是学生自身的学习认知能力，es是学生的个人投入，et是教师的教学投入。为了区分学生个人投入和教师教学投入对学生学业成就作用的差别，给et赋予一个权重t。在投入相当的前提下，学生自身的学习认知能力越高，收获的学业成就越大。

　　假设根据学生的真实学业成就可获得的成绩为g，则：

　　g=SA+εs，0≤g≤1（2）

　　其中，εs是g与SA之间的测量误差。g是学生真实学业成就的评分，此处将g标准化在［0,1］区间内。

　　然而，教师在实际评判学生学业成就时，教师也许对学生自身的学习认知能力有一个大概的认识，但对学生的学业收获无法直接评判，他需要借助各种测量方式，如作业、报告或者考试等，最后，根据以上测量结果，综合给出学生成绩G。G为学生获得的实际分数。并且，学生成绩G常常还取决于其他因素，如出勤率、是否迟到、课堂表现等，以及G也与教师的测试难度等有关。当某个学生分数过低或者处于及格线以下，教师往往还会给一些“同情分”。所以，最后教师录入的学生成绩G和学生的真实学业成就的评分g之间往往有所差异。假设是教师给分的严格程度，从0到1，严格程度线性递增。那么，学生得到的实际分数G为：

　　G=g+（1-λ）（1-g）+εt，0≤λ≤1（3）

　　其中，εt是教师给分的误差。

　　因此，将分数膨胀用公式表示为：

　　GI=G-g=（1-λ）（1-g）+εt=（1-λ）［1-（SA+εs）］+εt

　　 =（1-λ）［1-q（es+tet）］+ε0（4）

　　其中，ε0是公式变换后产生的新误差项，ε0=-（1-λ）εs+εt。

　　由此可见，分数膨胀不仅受教师放松给分的影响，还受到学生学习认知能力、学生的学习投入和教师的教学投入的共同影响。当教师给分非常严格时，λ=1，此时，G=g，学生成绩能够很好地代表学生学业成就；当教师给分极端放松时时，λ=0，此时，G=1，也就是说，学生成绩和学生学习认知能力、学生投入、教师投入等都没有关系，所有学生都获得满分。

　　通常，教师给分的严格程度处于0~1之间，即0<λ<1。当学生和教师都投入了相当多的努力时，学生获取了很多知识，实际学业表现很好，［1-q（es+tet）］这一项变得非常小，那么即使教师希望放松给分，可以放松的空间会变得很小，分数膨胀的幅度也会非常小。当学生和教师的投入都非常少的时候，［1-q（es+tet）］这一项趋近于1，那么只要教师放松给分，分数膨胀的幅度就会非常明显。因此，遏制分数膨胀之风只是“标”，树立良好学风，鼓励教师在教学上多投入、学生在学业上多努力才是“本”。

三、学生评教制度下的师生博弈

　　在学生评教制度下，教师和学生之间的互相打分，使二者的关系发生了某种形式的“捆绑”。二者利益相关联，且都有使自身利益最大化的倾向，因此，教师和学生之间的关系产生了微妙的变化，既有博弈，又有默契。在学生评教的制度设计中，理论上教师和学生是同时做出决策并互不知晓对方决策的——教学评估通常发生在期末考试之前，此时学生并不知道考试的难度和自己的最后得分；教师给分的时候也并不知晓学生给出的评价——这正是政策制定者希望的设定。然而制度设计的初衷并不能阻隔二者的相互作用，师生“合作”和“共谋”的发生机制是在二者紧密的互动和接触中自然发生的。以下将从理论上描述和探讨这种隐晦的发生机制。

（一）纯策略情况

在学生评教这个问题中，教师的利益不仅取决于教师自己的教的行为，还取决于学生的评教行为；同样的，学生的利益不仅取决于学生自己的学的行为，还取决于教师的教的行为。对于教师而言，有两种选择：放松给分l或者严格给分s；对于学生而言，也有两种选择：打高分h和打低分w。建立博弈模型如图1（a）所示。

　　由于教师和学生互相观测不到对方的决策，所以其选择也不依赖于对方的选择。该模型中，教师和学生可以互换位置。假设无论是放松还是严格给分，教师付出的成本都为0，学生付出的成本也为0。当学生给教师打低分时，教师的收益为t；当学生给教师打高分时，教师获得额外收益为t1。当教师严格给分时，学生的收益为g；当教师放松给分时，学生额外获得的收益为g1。t，t1，g，g1>0。

然而，在博弈树中很难找到纳什均衡，因此笔者将博弈树转化为标准式，如图2所示。不难看出，该博弈只有一个纳什均衡lh，即教师放松给分且学生给教师打高分。教师和学生都为理性人，这种情况下，教师和学生在学生评教中的行为构成了一个合作博弈，双方的收益都会增加，且符合帕累托改进。

　　以上是在政策设定的理想模式下发生的博弈。由于教师和学生无论选择放松或严格给分，都不必付出额外的成本（前提假设），因此，对二者而言，最理性的决策都是放松给分以谋取获得额外收益的机会。

实际上，在教师的教学过程中，已经向学生释放了给分高低的信号——有些课程由课堂表现得分、期中测验、期末考试构成，学生在平时的学习过程中已经取得了一部分分数；有些课程没有平时分，但教师会在上课的过程中明确考核要求，这也使得学生对自己的成绩有一个预期；有些学生会打听某门课程以往的给分情况，形成了学生对最终成绩的预期；教师在教学过程中可能会对某些学生产生某种主观态度并使学生感知到，学生借此对自己的成绩形成预期。因此，在实际的学生评价过程中，博弈模型由图1（a）转换为图1（b），即教师先选择。当教师放松给分时，根据互惠原则，学生会对教师产生补偿心理，倾向于报答教师。当教师严格给分时，假设教师的成本不会增加，而学生会更努力的学习，因此学生的成本增加c。根据归因理论，当学生在平时的学习中受挫或在考试中失败时，会倾向于寻找外在的原因来解释，比如考试太难了、给分太严了或者教师的教学太差了。所以，当学生成绩好时，他会归因于自己的能力和努力；当学生成绩差时，他会倾向于责怪教师。此时，如学生给教师打低分会获得一定的心理补偿，收益增加g2。（见图3）

　　运用逆向归纳法可知，在这个博弈模型中有两个纳什均衡，lh和sw，即教师放松给分且学生给教师打高分，或教师严格且学生给教师打低分。当教师放松给分时，学生选择打高分以最大化自己的利益；当教师严格给分时，学生选择打低分以最大化自己的利益。但在教师这个节点上可以看出，应该选择“放松给分”才能使双方同时获取最大的利益，因此，sw虽然是纳什均衡，但它同时是一个弱劣策略，教师和学生的最优策略是lh（严格占优），sw是“不可置信的威胁”，即教师严格给分和学生打低分都是对对方的潜在威胁，但该均衡永远不可能达到，选择互相打高分仍然是最理性的决策。

博弈模型的结论和Stroebe从心理学理论出发得到的结论不谋而合。Stroebe根据平衡理论，认为在学生评教这个事件中，假设学生为S，教师是T，学生的考试成绩是X，构成一个S-T-X三体结构。此三体结构如要达到平衡状态，有两种可能，一是三方之间的关系全部正相关，二是三方的关系中有两个负相关一个正相关，如图4所示。学生T和成绩X是正相关关系，成绩越高，学生的满意度越高，相反，成绩越低，学生的满意度越低。如果S给了T一个正向的评分，同时T给了S一个正向的分数，那么整个系统达到第一种平衡状态（所有关系都是正相关）。如果T给了S一个较差的分数，同时S也给了T一个较差的分数，此时系统达到第二种平衡（两个负相关关系，一个正相关关系）。Stroebe认为，在实际情况中，S和T都希望能够取得更高的分数，因此第一种平衡态是利益相关者都希望的状态，最终，会驱使各方达到皆为正向相关的状态——学生给教师好的学生评教分数，教师给学生更高的成绩。

（二）混合策略情况

　　以上笔者考虑的是纯策略均衡，现在我们进一步考察混合策略均衡。假设教师放松给分的概率为α，学生给教师打高分的概率为β，博弈标准式见图3。

　　教师和学生的赢利函数分别为：

　　E（T）=αβ（t+t1）+（1-α）β（t+t1）+α（1-β）t+（1-α）（5）

　　E（S）=αβ（g+g1）+（1-α）β（g-c）+α（1-β）（g+g1）+（1-α）（1-β）（g-c+g2）

=α（g1-g2+c）+（α-1）βg2+g+g2-c（6）

　　由赢利函数可以看出，教师的收益和是否放松给分无关，只和学生是否打高分有关，为β的线性函数，β越大，教师的收益越高。

　　学生的收益比较复杂，和α、β都存在二阶相关。

　　对E（S）求偏导，得

　　E'β（S）=（α-1）g2（7）

　　因α∈［0,1］，那么当α=1时，E'β（S）=0，学生收益函数变为正常数；当α∈［0,1）,学生收益函数变为单调递减函数。

　　通过以上分析可以看出，因为放松给分对教师来说无成本（前提假设），因此，只要学生打高分的概率为正，那么教师的收益就会增加；而学生的收益同时和教师、学生的选择策略相关，当教师选择放松给分的概率为1时，学生的收益变为恒定；而当教师放松给分的概率小于1，学生的打高分的概率越大，收益越小。综上，无论是教师和学生互不知晓对方决策，还是教师先释放出信号做出选择，学生成绩和学生评教双重膨胀都是最优策略。也就是说，在学生评教制度下，师生间的“合作”和“共谋”自然而然地发生了。

四、教师间的进化博弈模型

　　进化博弈论是把博弈理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理论，它可以用来分析在某一特定群体里，有一小部分群体选择了不同的策略，这一行为对大群体的影响过程。进化博弈论从有限理性的个体出发，认为个体的决策是通过个体之间的模仿、学习和突变等动态过程来实现的。突变的小群体有可能在进化的过程中被消除，也有可能侵入大群体并对大群体产生作用。本研究尝试运用进化博弈模型来探究学生评教制度下，有一小部分教师选择了放松给分后，对整个教师大群体的影响。

　　在学生评教这个问题中，当评教刚开始实施时，假定有一小部分教师选择了放松给分，即形成策略突变的小群体，而其他教师仍严格给分。我们引入进化稳定均衡中的模仿者动态方程如下：

　　假定群体中每一个个体在任何时候只能选择一个纯策略，策略集为Sk={s1，s2，…，sk}。在t时刻采用策略si∈Sk的个体数为ni（t），x（x1，x2，…，xk）表示群体在t时刻所处的状态，pi（t）为t时刻选择策略si∈Sk的个体数在群体中所占的比例，即pi（t）=ni（t）/N，其中N是该群体的个体总数。pi（t）满足：

0≤pi（t）≤1且∑pi（t）=1（8）

　　以f（si，x）表示群体中选择纯策略si的个体所得期望支付，f（x，x）=∑xif（si，x）表示群体平均期望支付。

　　假设种群中采用纯策略si的个体数的增长率等于f（si，x），则可以得到该博弈的模仿者动态方程：

（一）建立简化模型

为了简化模型，假设只有教师1和教师2参与博弈。构造一个二阶对称博弈矩阵，如表1所示。

　　为使问题简单化，进行如下假设：

　　在学校对教师给分无限制时，如果二者都采用严格给分的策略，那么每个人都可以获得a的收益；如果选择放松给分策略，则可以获得额外的收益b。

　　如果二者都放松给分，尽管此时二者都获得了更高的学生评教分数，但教师的教学成果评价取决于相对排名，因此，额外收益变成b/2。

　　如果一名教师放松给分而另一名教师严格给分，那么放松给分的教师除了获得额外收益b之外，还将侵占严格给分教师的收益c。

（二）复制动态与稳定性分析

　　假设在该群体中采用放松给分的博弈方的比例为r，那么采用严格给分的博弈方的比例就是（1-r），则采用两种策略的博弈方的期望收益分别为：

　　f2=a-cr（11）

　　其中，f1是放松给分方的收益，f2是严格给分方的收益。

　　由此可得，群体的平均期望收益为：

　　若f1和f2不相等，就会导致收益较差的博弈方改变自己原有的策略，选择预期收益较高的策略，即开始模仿另一种类型的博弈方的选择。这就意味着选择放松给分和严格给分的比例r和（1-r）不是固定的，而是随时间变化的。根据公式（9），可以得到如下模仿者动态方程：

　　令上式的右端等于0，可以得到复制动态方程的三个定态解：

　　根据进化稳定策略的性质可知，一个稳定的状态必须对微小扰动具有稳健性才能称为进化稳定策略（即如果某些博弈方由于偶然的错误偏离了稳定点，复制动态仍然能使偏离回到原来的稳定点），即进化稳定策略要求

所以采用线性稳定性分析，来判断三个定态解的稳定性:

（三）关于稳定均衡解的讨论

这意味着在学生评教这个问题下，只要放松给分能获得额外收益，那么在100%的教师都放松给分之前，都处于非均衡状态，直到100%的教师都放松给分了，系统处于稳定均衡。这是因为，教师放松给分并不需要付出额外的成本，但却可以获得额外的收益。

　　从学生评教制度实施伊始，若一部分教师采用放松给分策略，则会给其他教师造成多方面的压力：其一，放松给分的教师，其评教分数会提高，那么相对的，其他教师的排名会下降。如果说在我国高校实行“非升即走”制度之前，排名的下降只是使部分教师“面子”上不好看，那么实行“非升即走”制度之后，则可能使其他教师产生不能晋升长聘序列而走人的危机。其二，当学生察觉到有部分教师放松了给分，为了谋取高分，学生会对严格给分的教师施加压力，发生诸如索分、要分、纠缠教师等行为。其三，放松给分的教师在取得评教分数提高、学生口碑好等好处后，会产生一定的示范作用，使得严格给分的教师产生趋利心理。综上，一部分教师放松给分的行为会使得其他教师主动模仿或不得不模仿，直到所有的教师都放松给分。这样的结果，势必会造成学生成绩和评教分数的双重膨胀，并且，因为学生评教分数的走高，使得评教分数越来越集中在高分段，真正教学质量高的教师会变得不好甄别，混同在教学质量较低的教师中而无法区分。

五、结论与讨论

　　在过去的几十年中，高等教育系统演进的轨迹正在发生变化。高等教育的大众化与全球经济体系的深度变革以及工业化进程的需求，使得高等教育机构所处的组织场域迫使大学不断变革以符合多元化的利益诉求。大学作为国家技术革新的发动机，不由自主地嵌入到国际竞争中，科研产出日益重要，而人才培养反倒容易被忽视。分数膨胀现象正是忽视人才培养的一个表现。

　　为了更好地刻画分数膨胀，本研究首先建立起分数膨胀的数学描述，可以看到，分数膨胀不仅受教师放松给分的影响，还受到学生学习认知能力、学生的学习投入和教师的教学投入的共同影响。遏制分数膨胀之风是“标”，树立良好学风，鼓励教师在教学上多投入、学生在学业上多努力才是“本”。博弈模型进一步揭示：在学生评教制度下，教师和学生两者同时追求利益最大化，那么学生分数和评教分数的双重膨胀是理性选择；当放开优秀率控制，若起先有一小部分教师选择放松给分，那么其余教师或主动或被迫，也会陆续模仿，直到全部教师都放松给分，进一步助长了分数膨胀。当然，本研究为了从理论上进行分析，构建的模型是简化的，在实际情况中，不可能全部教师都放松给分，分数膨胀也是有“天花板”的。一方面，真实场景不可能是完全信息的博弈，即教师无法知道所有其他教师的行动策略，在不完全信息的博弈下，教师可能并不知道别的教师放松了给分，从而没有受到该种策略的影响。另一方面，教师的使命感、教师责任感、教师在教学中获得的成就感、教师的规则意识和自我要求、学校的管理控制等都会在一定程度上对分数膨胀形成约束，使得分数膨胀不会是无止尽的，但分数膨胀现象仍然值得探讨和反思。分数膨胀不仅仅是表面上分数的增长，它还可能会影响高等教育质量：可能降低了教师的教学投入、减少了学生的学业投入、使师生关系发生异化、影响校园风气等。并且，对于教育政策而言，宽松的评分标准不是促进机会均等的适当手段，相反，一个能严格测量和客观记录学业表现的政策系统是助力社会流动的最好方式。

　　本研究的分析结论不仅仅是假设和构建，实际情况正发生在我国的某些高校中。如天津大学教务处总结了2008—2017年毕业学生的绩点，发现学生的平均绩点在不断上升。清华大学2015年公布的《“建立促进学生全面发展的学业评价体系”改革方案》中提到：“从对近20年来清华学生成绩的统计分析来看，清华存在明显的‘分数膨胀’现象”。同样，在美国，进入20世纪80年代后，大学校园里出现了新的风气，学生被认为是顾客。在学生评教制度下，教授们为了确保任职和晋升，他们必须把重点放在让学生满意。于是，美国学生的GPA发生了显著的膨胀。美国学者Rojstaczer把这一现象称为“学生消费主义”。有些大学进行了控制分数膨胀的尝试。如韦尔斯利学院使用行政规定将部分院系的课程优秀率控制在一定比例之下，然而随后的政策研究表明，这些院系的选课人数显著降低并且评教分数也变差了。再如康奈尔大学，为了控制分数膨胀，尝试采用“分数报告（grade reporting）政策”，将每门课程的平均分在网站上公开，并且同时在学生的成绩单上体现。这个政策的结果适得其反，由于学生争相选择高分课程，学生成绩反而出现了更加明显的膨胀。

　　我国正在建设“有中国特色的现代大学”，首要目标是“立德树人”。美国的前车之鉴值得警醒。由前文分析可知，滋生分数膨胀的土壤是教师对教学的忽视和学生对成绩的“机会主义”思想。因此，应对分数膨胀，可考虑从以下方面着手：首先要在管理制度上实现创新，使教师给学生“打高分”成为一件需要慎重对待的事，以保障教学的健康发展。其次，要树立师风师德标杆、奖励优秀教师、建立“重教学”的风气，让教师自觉自愿地投入到人才培养事业中。最后，除成绩外，采用多种评价方式衡量学生的学业成就，破除“唯分数”论，为学生的多元发展创造环境。

作 者

赵　颖，北京大学政策法规研究室助理研究员、教育学院博士研究生，北京　100871

本文得到北京大学教育学院哈巍教授、卢晓东教授的关心和指导，在此表示感谢！

栏 目

大学生学习与发展研究

中国高教研究

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