如何在 COMSOL 中针对任意几何模型的场进行后处理

您是否曾希望查看任意几何子区域内的模型计算结果？您可能会认为这需要在模型中添加几何并重新计算。在 COMSOL Multiphysics 软件中，用户可以通过添加零件并调整其位置，来达到估算结果的目的。我们将以计算线圈互感系数为例来演示具体的操作，并介绍一些简单而有用的技巧。

计算互感系数

让我们先来看看下图中两个圆形载流线圈模型，其载流电流均为 I0 = 0.25 mA。绘图显示了两个初级线圈周围的磁通密度，即 B 场。假设我们要在较大的初级线圈之间添加一个相对较小的拾波线圈。这个拾波线圈会拦截一部分磁，它通过其外周曲线 C 和封闭区域 A 来定义。

内部放置了拾波线圈的亥姆霍兹线圈周围的磁通密度。线圈的封闭区域显示为灰色阴影。我们将重新计算拾波线圈改变方向后的互感系数。

初级线圈和拾波线圈之间的互感系数可定义为：

其中 n 表示垂直于表面 A 的矢量。

其中 t 表示与曲线 C 相切的向量。

我们可以将拾波线圈放置在初级线圈四周的任意位置和方向上，然后对模型进行求解，计算出其中一种积分。我们甚至可以在使用更新解 功能对模型进行求解后，再添加拾波线圈几何特征。这项功能可以重新剖分整个模型几何的网格，并将之前计算的解从旧网格映射到新网格上。如果几何的变化不会影响解，而且只是需要在不同的位置上求解拾波线圈，那么这种方法既适用又非常方便。

假设我们计划将拾波线圈放置在各种不同的位置和方向上。考虑到 A 场不变，所以我们不希望对整个模型进行重新求解或网格剖分，只想移动拾波线圈的几何。为了实现这一需求，我们可以使用多个几何组件的组合，即广义拉伸 组件耦合和积分 组件耦合。

在 COMSOL Multiphysics 中的任意几何上积分

我们从现成的亥姆霍兹线圈为例，向模型中添加一个新的三维元件。第二个元件的几何可用于定义拾波线圈的边、横截面和方向。借助旋转 和移动 几何特征，我们能将线圈调整为任意位置。为了方便可视化，我们还可以添加专用于定义初级线圈的边，如下方截图所示。

第二个组件和几何的设置。

Component 2 的空间坐标与 Component 1 完全重叠，但除此之外，二者之间没有任何联系。通过定义在 Component 1 中的“广义拉伸”组件耦合，我们引入了映射。此耦合将 Component 1 的全部域列入了源选择。无论在 Component 2 空间中的哪一点上计算此耦合，Component 1 空间中都会使用同一点上的场。

在 Component 2 中，我们定义了两个“积分”组件耦合，一个定义在拾波线圈的边上，名为 intC，另一个定义在横截面边界上，名为 intA。借助两个组件耦合，我们可以通过定义两个变量，从而采用上述任一方法来计算互感系数。两个变量分别名为 L_C 和 L_A，其定义公式分别为：

和

其中，t1、t1y 和 t1z为拾波线圈周长的切矢分量，nx、ny 和 nz 为拾波线圈表面的法矢分量；I0 = 0.25 mA 是一个全局参数。

由于模型包含了多个组件，所以我们必须使用 Component 1 中的组件耦合和场的完整名称。另外请注意：法矢和周长切矢的方向可能相反，我们需要注意正负号的改变。

定义在第二个组件的拾波线圈周长上的“积分”组件耦合。

我们还能对不同位置和方向上的拾波线圈执行扫描。在 Study 1 中，我们已对磁场进行了纠结，现在添加第二个研究，使之包含参数化扫描，但没有求解任何物理场。在研究步骤设置中，我们可以指定使用现有的磁场求解结果，如下方截图所示。

研究步骤设置显示了如何将 Study 1 的解应用到 Study 2 中。

相比于重新剖分整个模型网格并求解磁场，第二个研究的计算量更小。拾波线圈每一次改变位置，软件都只会剖分拾波线圈表面的网格，然后将 Study 1 的解映射到拾波线圈的新位置上，并对两个变量进行求解。

这种方法同样适用于空间积分表面和多匝积分曲线，射频识别系统便是一个符合的案例。不仅可以在任意的边和表面上进行积分，还能通过旋转 和移动 几何操作轻松地调整到任何位置上。综上所述，它一个计算任意几何和位置上的场的常用方法。

一个更加简单的方法：使用截面

上述方法十分灵活，支持对任意形状进行积分。下面，我们将讨论一个相对简单的例子。假设我们要处理平面积分表面，该表面的边可以参照平面上的原点简单地使用 x 坐标和 y 坐标来定义。

该方法的第一步是在整个建模空间中建立一个切面（截面）。我们可以使用截面 数据集来完成这一步，详情可参考关于计算平面上的总法向通量的博客文章。我们可以使用全局参数来设置截面的原点和法矢。另外请注意：我们在截面上分别定义了局部变量 cpl1x 和 cpl1y 来表示局部的 x 和 y 位置，并定义了 cpl1nx、cpl1ny 和 cpl1nz 来表示平面法矢的分量。

使用“截面”数据集。原点和法向是利用全局参数来定义的。高级设置显示了局部的 x 和 y 坐标以及法向坐标的名称。

接下来，我们将在整个截面上进行表面积分，但同时希望将积分对象限定为平面上的一个子空间。为此，我们使用了与空间相关的逻辑表达式，在待求解的区域内，表达式的值为 true（或 1），反之为 false（或 0）。然后，用逻辑表达式乘以被积函数。举例来说，如下方截图所示，在截面上进行的表面积分是一个表达式：

其中，以原点为中心、半径为 0.1 米的圆内，逻辑表达式 (sqrt(cpl1x^2+cpl1y^2)<0.1[m]) 的值为 1。

表达式中其余的项计算了通量与截面法矢的乘积，最终得到了以截面原点为中心、半径为 0.1 米的圆中通过的通量。

使用逻辑表达式计算截面子区域上的积分。

截面子区域的边界略微不平滑；不过随着网格逐渐细化，粗糙度会降低。与上文的方法一样，我们借助第二个包含参数化扫描的研究，将所有不同方向的截面存储在第二个数据集中。由此，我们不需要建立第二个组件或几何，免去了重新定位和重新剖分网格的麻烦，从而加快了计算速度。

一个更简单的方法：使用参数化曲线

下面，我们将介绍一个更加简单的方法，它所适用的情况相对较少。假设我们要对可通过参数方程描述的曲线进行积分。可通过参数方程描述的最简单曲线之一是 xy 平面上的单位圆，其定义为 x=cos(s)，y=sin(s)，区间为 0≤s≤2π。计算任何参数曲线的切矢的方法简单又直接。单位圆的切矢分量如下：

我们可以在三维参数化曲线 数据集中使用这些简单方程，以求解 xz 平面内半径为 0.1 米的圆。通过使用一组全局参数，圆的中心点会从全局原点偏移开。

“三维参数化曲线”数据集的设置。曲线显示为黑色，切矢箭头显示为灰色。

我们可以基于另一个研究创建第二个数据集，并利用参数化扫描对拥有不同原点的圆进行计算。然后，我们对新的数据集进行线积分，如下方截图所示。被积函数

在 xz 平面上假设了一个圆，并沿参数曲线计算出 A 场。

对“参数化曲线”数据集进行线积分。

针对给定的网格离散化，第三种方法最简单且最准确，但限制也最多。圆、椭圆和正方形之外的曲线不与坐标轴对齐，因此写入它们的参数方程的难度更高。

在下图中，我们采用了三种方法计算沿线圈的轴往复移动的圆形积分区域，绘制并比较了三者的结果。

关于对任意几何的场进行后处理的结语

在上文中，我们展示了三种提取建模空间内子区域的表面和线积分的方法。第一种方法最通用；它允许对任意（甚至是非平面）表面和曲线进行积分，还支持任意改变待求解积分的几何的位置。这种方法最为灵活，但是前期准备工作也是最多的。

第二种方法（使用“截面”数据集）仅适用于平面积分表面，而且在积分表面的形状方面受到了诸多限制。第三种方法（使用参数化曲线）最高效简单，但是最适用于诸如圆之类的简单积分曲线。

来源：comsol中国

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