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文/何天成(许兴华数学/选编)

本文作者何天成，在今年的第58届国际数学奥林匹克（IMO2017）获得金牌。广东华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科学学院2017级新生。本文发表于“数学新星网”。

作者非常详细地阐述了参加各级竞赛直至国家集训队、代表国家参加IMO的各种心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有很强的指导作用，本公众号在此将分三期编辑，并分享给大家。 （本文约6000字，建议阅读时间10分钟）

何天成， 2017届一班，现就读于北京大学（2017年IMO金牌获得者）

（中）

（附“上篇”链接：深度好文|超详细数学竞赛参赛及学习经验分享ooo上）

（下篇将在本公众号下一期发表，敬请留意查看）

==CMO==

来到了 CMO ，就意味着进入了真正的“ IMO 模式”了。4.5 小时 3 题，这个时间我觉得不算长也不算短 —若是题目顺手，3 小时足以完成 3 题；但只要有至少一题“卡住”了，就很可能出现时间不够用的情况（有思路没时间）。当然，对于初次接触这样类型的考试的同学，很可能做不满 3 小时就己经找不到突破口，无所事事了。这其实是很正常的，所以在训练中，最的就是锻炼如何在“卡住”的情况下调整心态，寻求突破。

关于 CMO 的备考，个人觉得不能只是从得知自己进入省队开始，而应该是一个更有计划性的长期过程 ——从学数学竞赛的初期开始就应该不时挑战一些比较难的题目，这样在真正进入省队之后才会有足够扎实的基本功。不过无论如何，备考的初期还是要先把所有 CMO 范围内的专题过一遍。在 CMO 中可能出现联赛不考（或者考的很浅）的很多知识点，比如复数、多项式、函数方程、图论等，至少不能出现明显的短板。

从 CMO 开始，理论上来说答题纸可以无限用，可以自带食物，大部分方法也可以直接使用，包括高等的方法（当然，要是你使用了一些大定理解决问题，很有可能只有部分分数）。换句话来说，就是限制条件变少了，大家可以凭借自己的本事各显神通。

CMO 的考试与联赛还有一个较大的不同

CMO 考试时，参赛选手汇聚一堂。这有好处也有坏处：你可以与各地高手亲密接触，体会举办地的风土人情，但也要充分考虑举办地的气候，伙食等生活条件的差异。我参加过的两届CMO 都在吃辣的地域举办，结果吃东西很不习惯，肚子有些不舒服，影响了考试状态。如果不习惯酒店的饮食也可以出去吃，但一定要多加注意，避免出现考试腹痛腹泻的悲剧情况。

另一方面，冬令营在冬天举办，最好提前调查好考场有没有空调和暖气，带好足够的保暖衣物；如果可以的话，可以多提前几天去适应环境。我曾经参加过的冬令营就出现了手冻到难以写字的问题。

而关于做题状态的保持，我建议至少每个星期做一次模拟考——连续两天，每天上午做 4.5 小时的题目，模拟考试状态，不能没做完就提前交卷或者消极考试，写过程。考完之后的下午可以休息，保持精力，也可以继续做题或者和同学讨论，然后认真批改过程，对比标准答案找出所有笔误和说不清楚的地方。

在 CMO 过程的书写上，由于整体时问较多，所以其实不用太着急。宁可慢慢写，也不要因为写的太着急而出现伪证，或者因为字迹模糊被扣分。这里要特别提一句：如果提前做完了卷子，不要提前交卷，也不要趴在桌子上看别人做题。一定要认真检查自己的过程，甚至把写的不好的过程重新抄正！在题目简单的时候，任何一点跳步都可能成为最后的血的教训。“千里之堤，毁于蚁穴”，不要让自己多年的努力因为最后几个小时的懈怠功亏一篑。

如果你从来没有考过一次 4.5 小时的考试，找一个安静的地方，一套没做过的 CMO 真题，考一次试试吧。开始做题的时候要有一种信念，就算真的一点东西都得不出来，也不能坐在座位上发呆思考人生或者无脑的在草稿纸上抄式子 ——这是“慢性自杀”的做法。如果把沉浸在题目中的时间叫做“有效时间”，有效时间越长，就说明考试状态越好。

在考试之中一时做不出来题其实是很正常的，如果真的感觉什么都得不出来，可以尝试以下的事情：

去洗手间洗把脸，顺便在走廊跑跑，活动一下筋骨；

喝点水，吞一条巧克力；

在纸上列出你能想到的有希望解决此题的所有可能的方向，然后选择一个没有尝试过的去尝试。

最后一条比较关键：

绝大部分情况，题目都是正确的，并且存在一个分为若干步骤，每一步骤都可以很容易理解的方法，并且这个方法的答案长度不会超过两张 A4 纸。

做数学竞赛题是建立在题目存在这样的方法的基础上的。所以如果你花了很久都没有攻克题目，很有可能并不是题目本身很难，而是你“误入歧途”，常见的情况有：

第一步想当然地找到了一个看上去形式比较简单的等价命题，或者“不妨设”了一大堆条件，表面上是赚到了，但事实上从原题直接出发处理比较容易，转换过后反而变难了；一直想直接做出来，但是实际用归纳法可以大大简化问题；一直想归纳，但是实际上命题并不具有归纳结构，反而应该在原题里面直接处理；

原题的条件可以直接推出一个很强而且很有用的结论，但是你没有发现。

这几点表面看上去很简单，但实际上，在真正做题的过程中很有可能还是陷入了死胡同出不来了（因为有时候可能真的只差了一点，不忍心放弃）。怎样“在适当的时候判定这个方法没有用，并且尽快进入下一个分支”是竞赛高手的一种能力。

一次考试之中，把越多陷入困境的题目做出来，就算是考试状态越好，在陷入超过 2 小时的困境后做出一道题目，就算是成功入门了 CMO 类的考试了。

在这样的 4.5 小时的考试中，题目的难度未必是按照顺序排列的。一般来说，老师选题的时候会认为难度是递增的，但实际情况可能会有很大不同。

如果在靠前的题目卡住比较久，千万不能慌张，可以跳过它做下一题。特别的，有时候第一题可能看着并不难，但是却一时想不到的话，可以先跳过它做 2 、 3 ，如果能做出一题，就“解毒”了，心态会平稳很多，也就能比较顺利的做下去了。

我曾经在考试中花了很久都做不出第 1 、 2 题，但是跳到 3 的时候，却立刻有思路（但其实 3 非常难），然后回头，最终依次做了 2 与 1 。如果我一直对着第 1 题猛攻 4 个小时，很可能最后颗粒无收，出了考场才会懊恼没有看 3 。所以思路要灵活，不能吊死在一棵树上。

还有一种常见的情况，就是在考试进行到了靠后的时间，却颗粒无收。比如在第 3 个小时的时候还一题都做不出来。这个时候，很多人肯定己经在思考：其他同学一定会嘲笑我，也没有好大学读了，只能和其他人一起高考 …… 这样是非常错误的！能减少这种情况发生的方法大概就是在平时练习的时候模拟考试的环境，比如邀请几个同学一起做，这样在长时间做不出题的时候开始会比较焦急，通过一次一次考试的训练渐渐达到沉浸题目之中，不受其他状况影响。

考试的最后半个小时往往也很有意思。我做题的时候，“半小时魔咒”经常出现 ——之前的很长一段时间思路停滞，最后半小时却忽然思如泉涌。我也不知道是为什么，但反正，如果最后半个小时突然有了思路，千万不要慌张，更要沉卜心来认真想，一边想一边把想法写在卷子上。我曾经多次在考试的最后半个小时做出题目或者得到关键性步骤，这样的临危不乱也是需要平时练习的。

备考 CMO ，不同的同学有不同的题目选择。但是有两套题目应该是所有人都会做的：近年的 IMO 预选题（可以从 IMO 官网下载），《 走向 IMO 》 里面的CMO、集训队真题。

一般来说，这些真题如果你完全按照 4.5 小时 3 题的这种考试模式，几乎是做不完的。当然，在初学阶段，不建议把所有的第一题都挑出来做掉或者大面积看答案，因为这样会导致以后损失很多套题。

冬令营虽难，但是实际分数线却并不算太高，并且由于考试时间长，状态的波动较小，所以比起联赛并不算随机性太大。我个人觉得，像前国家队队员这样非常强的选手，应该是可以保证能够进入下一年的集训队的；而省队呢，特别是在“拼一试”的强省，可能需要更多的训练。

最后说一下第一天考完的心理调整。

我强烈建议，在第一天考完之后不要与其他人对答案，不要看讨论题目的网站。反正如果我是你的竞争对手，我肯定一看题就说“怎么这么简单，我们学校全部满分”，让你心态崩盘；

而且就算是真的自以为做了 3 题，实际能拿到多少分绝对是未知数。一般来讲考完第一天狂水贴的人都比较浮躁，很有可能真的伪证了。再说了，退一万步，即使真的有 10个人说自己做出 3 题，集训队有 60个人呢！你要是做的不好，很可能其他人也做的不好。

所以最正确的心态就是：该吃吃该睡睡，不要想太多，还有一天呢，在考完所有的考试之前，一定不能放弃，也一定不能骄傲。

考试的最佳状态就是忘记之前的一切，忘记你的竞争对手，把每场考试当成第一场考试，把你的对手当成自己。尽力多做出一道题目，多挣一分。

==TST==

TST 就是集训队。进入集训队就保送了，很多同学会有自己的打算。我个人认为集训队水平靠前的同学和靠后的同学还是有一定的实力差距的 ——可能集训队里大约有 15 个同学算是可以“保证”进入集训队的，而有一半的同学实力跟前面那些同学有比较明显的差距，进集训队有一定运气成分。每年集训队中，都会有一半左右的同学放弃备考，从冬令营结束开始准备自己的事情—— 比如准备出国，看大学数学，勾搭妹子，打牌等等。我觉得不能说这样的同学是错的，相反，比起很多从冬令营结束开始一直在备考的同学，他们真的“赚到”了一段很宝贵的时间，可以比很多人在之后取得先机。当然，如果自认为有进入国家队的实力，我更希望你能认真准备集训队的考试，并向国家队发起冲击，如果可以的话，为中国队尽自己的一份力。

今年的集训队考试公布了分数，从分数所反应的情况来看，集训队测试有两个很容易被忽视的地方：

第一点，稳定性

考试结束之后，我们都认为分数线比预想低。是的，这样的分数线其实不要求你做出很多少于 10 人做出的难题，仅仅只需要把那些“非难题”全部稳稳地拿下即可。这并不是说在练习和考试的时候不做难题，而是说，其实相当一部分非常有实力的选手并没有拿下那些“不难”的题目，所以在练习和考试中，一定要练习拿下“非难题”的能力，减少失误。一场集训队测试的 6 题中，一般有 1 到 2 个难题，而你只需要每次测试拿到 28 分，其实就足够了。不过话又说回来，作为一个自认为有实力的同学，如果只是通过“稳定”勉勉强强压线进队，其实真正到了 IMO 考场也很虚。所以当然要提升自己做难题的能力。

第二点，过程

在分数线附近的同学很多，但实际上，有相当一部分同学是因为过程写的不好， 7 变成了 6 甚至 5 、 4 ，与国家队失之交臂。关于写过程，还是有很多技巧的。

到了 TST 这个级别的考试，可以说在申诉之后不存在“判错”的问题——这里的判错指的是对错，而不是尺度。TST 的考试判卷方法接轨 IMO ，更加重视逻辑，对书写要求稍轻。

关于书写，有一种“ IMO 式书写法”，在时间只有很短，但是要写的东西很多的时候，可以采用这样的书写方法：用比较浅显易懂的语言把思路的核心步骤写出来（比如说，组合题可以不用写的太“数学化”，可以用口语化语言写出来），在旁边配很多图（难写的很多是组合题，配图可以大大增加直观性），然后在每个步骤下面留出一段空白，不验证细节。如果在补完第一层之后还有时间，就再补第二层细节 …… 如果你的思路真的是对的，一般来说都能得到一些分数。

一般来说，这个级别的考试不太纠结笔误，只要笔误不是太多太严重影响阅读都不会扣分。但在写过程的最后最好读一读，避免出现重复字母或者把所有 m 都写成n之类的情况。

关于笔误要注意的是：如果使用了计算法解几何题，特别是解析几何、复数这种很可能不是标准答案又计算量非常大的方法，一定要反反复复检查笔误！因为如果出现了一些笔误，到底你是算出来的还是蒙的，就很难说清楚了；一旦被发现，可能会扣比较多得分。

关于逻辑。一般来说，越简单的题目，对逻辑的严谨性要求越高；如果题目本身很难，可以适当跳步。所以在写第一题的时候，可能方法本身就没几行，要是一个关键结论不证明，当然很可能掉分；就算是掉 1 分，也很痛苦。这里要注意，凡是非定理的结论都最好去证明，包括一些不难证明的结论，比如 OI2=R2-2Rr，调和点列的性质等等。

如果题目本身很难，比如你用了很多很多这样的性质，也可以适当不证一些结论。当然，比较好的做法是如果最后还有时间，把没证明的结论后面打个（ * ) , 把证明附在解答之后。

这里不得不说到伪证和漏步骤的问题了。我自己做题的做法是在草稿纸上打草稿时把重点的结论圈起来，这样在写证明的时候可以按照圈找回自己之前的思路，避免“忘记之前怎么做”的悲剧（在一道题目做了很久的情况下时常发生），同时也不容易漏掉关键步骤（比如，其实只需要取 f （a） = f （b）带进某个式子就可以显然得到函数是单射的，但是没有写在卷子上，后面直接用，很可能会被扣一些分） 。

伪证是成为高手的绊脚石。如果你在平时或者考试中经常出现伪证，一定要引起足够的重视——伪证一旦在重要考试中出现，就会是很可怕的事情。这里要说的是，如果在卷子上写了很多错误（或者没用）的东西，不要着急划掉，最好做个标记，然后最后再做处理——因为你的这一部分过程很可能还是有道理的，如果做出来后发现还要重新抄一大段划掉的东西就很亏了。

上面两点大概是我觉得集训队考试最需要注意的地方。针对这两点，在训练的过程中一定要尽量模拟考试的时间和状态，并且耐着性子写过程。

集训队期间，往往会有很多诱惑 ——比如打牌，打游戏等等。我非常不建议有决心冲击国家队的选手沉迷于这些活动，最多考完试打打球，每个人有自己的娱乐方式，比如跑步、打球、做题等，要按照自己的节奏来，不要被本来不认真考试的同学带坏了。

最后讲讲集训队里的体力和心态调节。

集训队考试，是整个竞赛生涯里持续时间最长，也最压抑的考试。可以说集训队考试要褪一层皮是毫不夸张的（如果有第二轮的话就两层 ……）。集训队考试既是数学水平的较量，也是心态和体力的较量。

一般来说，集训队考试进行到一半左右肯定会越来越疲惫，很可能状态逐渐下滑。“一鼓作气，再而衰，三而竭”，这样的情况是正常的，所以要注意睡眠，保持规律的作息，多锻炼身体，保持充沛的精力。如果觉得讲座太多的话，可以放弃一些讲座（其实很多讲座的主要受众是旁听生啦）。当然，我建议每天上午准时起床，认真做题，下午和晚上可以适当放松，这样更容易保持考试状态。

关于集训队考试期间的心态，则比冬令营的两场考试要复杂得多，也更考验逆境一下抗压的能力。

历史上，波澜壮阔的大翻盘常有。在最后一场考试之前永不放弃，不仅是一句口号，更是一种信念。事实上，在最后的大考结束之前，一切都是未知数。

事实上心态的调整不仅仅局限于集训队测试中，也同样存在于日常生活中。能在人生的低谷里不骄不躁，顶住压力，卧薪尝胆，最终走出黑暗，也是人生中重要的能力。

心态主要分两部分：

之前考的较好的人，尽管知道自己有领先优势，也要不骄不躁，一定不要在考试中计算分数！就算是最后一场考试有很大优势，也要全力以赴，绝不能掉以轻心一一那些没改出来的考试的分数都是未知的，不能想当然的认为自己进队了就不努力了；再说了，进队也有排名的嘛。

如果之前的发挥差强人意，一定不要给自己立 flag。不要想着“要是拿不到 3 题我就进不了国家队了”。题目的难度不可预测，说不定题目很难，其他人全都 0 分，你做出 1 题就进国家队了呢？又或者，你之前估分为 0 的题目其实有 4 分，别人估分 7 的题目其实只有 3 分，这样算下来你的成绩并不算差。题目对每个人都是公平的，你觉得难，其他人肯定也觉得难。而万一因为自己心理要求太高导致考试心态失衡，痛失好局，就后悔莫及了。

总之，还是那句话，把每场考试当成第一场考试，把所有对手当成自己，只要发挥出自己的水平，尽全力了，就算是没进也没有关系。再说了，要是尽全力还是没法进入国家队，那去 IMO 考试也只会压力更大嘛。

（未完待续......)

【于翔宇老师简介】

北京大学数学科学学院16级本科生，曾在2014，2015两年获得中国数学奥林匹克（CMO）金牌，并入选2016年国家集训队保送至北京大学。光子辅导项目核心讲师，目前主要负责教学教研、视频直播课、答疑辅导等。

【来源】数海拾贝。

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